Um retângulo de perímetro 2L, L>0, possuí lados de tamanhos a*L e (1-a)*L, onde a E [0,1]. Determine a* E [0,1] que maximiza a área do retângulo.

ss

A área \(A\) de um retângulo de lados \(\alpha L\) e \((1-\alpha)L\) é:

\(\Longrightarrow A = \alpha L \cdot (1-\alpha)L\)

\(\Longrightarrow A = \alpha L^2(1-\alpha)\)

\(\Longrightarrow A = \alpha L^2-\alpha ^2L^2\)

Como o valor de \(L\) é constante, deve-se achar o valor de \(\alpha\) que maximiza a área do retângulo. Portanto, deve-se achar o valor de \(\alpha\) que anula a derivada \({dA \over d\alpha}\). Então, tem-se que:

\(\Longrightarrow {dA \over d\alpha}=0\)

Portanto, o valor de \(\alpha\) é:

\(\Longrightarrow {d \over d\alpha}(\alpha L^2-\alpha^2L^2)=0\)

\(\Longrightarrow L^2-2\alpha L^2=0\)

\(\Longrightarrow 1-2\alpha=0\)

\(\Longrightarrow -2\alpha=-1\)

\(\Longrightarrow \alpha={1 \over 2}\)

Resposta correta: \(\fbox {$ \alpha={1 \over 2} $}\)