Questão 3

Um imóvel de $ 720.000 foi financiado em 168 meses com prestações men- sais pelo sistema Price de amortização, a juros nominais de 18% a.a., capitalizados mensalmente. Calcule:
a) o valor das prestações;
b) o valor dos juros acumulados até o 10o ano;
c) a amortização acumulada até a 155a prestação;
d) o saldo devedor após pagar a 100a parcela;
e) o total de juros pagos durante todo contrato

Matemática Financeira

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UNIGRANRIO

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Cristina França

02.05.2019

💡 4 Respostas

Andre Smaira

30.09.2019

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos sobre Matemática Financeira para aplicar o sistema Price no financiamento de um imóvel.

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a)

Primeiro, pede-se o valor das prestações. Para isso, deve-se calcular a taxa mensal de juros ( $i_{mes}$ ).

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Considerando um ano de $$12$$ meses e juros nominais de $i_{ano,cap}=18\% \text{ a.a.}$ (ao ano) capitalizados mensalmente, o valor de $i_{mes}$ é:

$\begin{align} i_{mes}&={i_{ano,cap} \over 12} \\ &={18\% \over 12} \\ &= 1,5\%\end{align}$

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No sistema Price, as prestações são constantes (ou seja, $$A$$ constante). Considerando um valor presente $P=\$720.000,00$ , pago em $n=168 \text{ meses}$ a juros mensais de $i_{mes}=1,5\%$ , o valor de $$A$$ é:

$\begin{align} A&=P \cdot {i_{mes}\cdot(1+i_{mes})^n \over {(1+i_{mes})^n-1}} \\ &=720.000,00 \cdot {0,015\cdot(1+0,015)^{168} \over {(1+0,015)^{168}-1}} \\ &= 720.000,00 \cdot 0,01634 \\ &= \$11.764,44 \end{align}$

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Concluindo, pelo sistema Price, o valor das prestações é, aproximadamente, $\boxed{A=\$11.764,44}$ .

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Agora, serão calculados os juros e as amortizações de cada prestação.

Primeira prestação: com saldo devedor inicial $SD_0 = \$720.000,00$ , os juros correspondentes à primeira prestação (valor de $$j_1$$ ) é:

$\begin{align} j_1 &= i_{mes} \cdot SD_0 \\ &= 0,015 \cdot 720.000,00 \\ &= \$10.800,00 \end{align}$

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Portanto, a amortização correspondente à primeira prestação (valor de $$a_1$$ ) é:

$\begin{align} a_1+j_1 &=A \\ a_1 &= A-j_1 \\ &=11.764,44 - 10.800,00 \\ &= \$964,44 \end{align}$

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Portanto, o próximo saldo devedor (valor de $$SD_1$$ ) é:

$\begin{align} SD_1 &= SD_0 -a_1 \\ &= 720.000,00 - 964,44 \\ &= \$719.035,56 \end{align}$

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Segunda prestação: com saldo devedor $SD_1 = \$719.035,56$ , os juros correspondentes à segunda prestação (valor de $$j_2$$ ) é:

$\begin{align} j_2 &= i_{mes} \cdot SD_1 \\ &= 0,015 \cdot 719.035,56 \\ &= \$10.785,53 \end{align}$

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Portanto, a amortização correspondente à segunda prestação (valor de $$a_2$$ ) é:

$\begin{align} a_2 &= A-j_2 \\ &=11.764,44 - 10.785,53 \\ &= \$978,91 \end{align}$

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Portanto, o próximo saldo devedor (valor de $$SD_2$$ ) é:

$\begin{align} SD_2 &= SD_1 -a_2 \\ &= 719.035,56 - 978,91 \\ &= \$718.056,65 \end{align}$

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Realizar manualmente os cálculos correspondentes a todas as $$n=168$$ prestações é inviável. Com base nas fórmulas utilizadas nas duas primeiras prestações, pode-se montar uma planilha no Excel para todas essas prestações. Com isso, pode-se responder as letras b), c), d) e e).

Para saber se a planilha está correta, deve-se verificar que o saldo devedor final do financiamento é igual a $SD_{168}=\$0,00$ .

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b)

Agora, pede-se o valor dos juros acumulados até o 10o ano. Com base na planilha montada no Excel, esse valor é $\boxed{j_{10}=\$10.661,71}$ .

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c)

Agora, pede-se o valor da amortização acumulada até a 155a prestação. Com base na planilha montada no Excel, esse valor é $\boxed{a_{155}=\$9.550,95}$ .

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d)

Agora, pede-se o valor do saldo devedor após pagar a 100a parcela. Com base na planilha montada no Excel, esse valor é $\boxed{SD_{100}=\$499.332,67}$ .

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e)

Por último, pede-se o total de juros pagos durante todo o contrato. Com base na planilha montada no Excel e na utilização da função SOMA, esse valor é $\boxed{\sum_{n=1}^{168} j_n=\$1.256.426,30}$ .

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