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Questão 3

Um imóvel de $ 720.000 foi financiado em 168 meses com prestações men- sais pelo sistema Price de amortização, a juros nominais de 18% a.a., capitalizados mensalmente. Calcule:
a) o valor das prestações;
b) o valor dos juros acumulados até o 10o ano;
c) a amortização acumulada até a 155a prestação;
d) o saldo devedor após pagar a 100a parcela;
e) o total de juros pagos durante todo contrato


4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos sobre Matemática Financeira para aplicar o sistema Price no financiamento de um imóvel.

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a)

Primeiro, pede-se o valor das prestações. Para isso, deve-se calcular a taxa mensal de juros (\(i_{mes}\)).

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Considerando um ano de \(12\) meses e juros nominais de \(i_{ano,cap}=18\% \text{ a.a.}\) (ao ano) capitalizados mensalmente, o valor de \(i_{mes}\) é:


\[\begin{align} i_{mes}&={i_{ano,cap} \over 12} \\ &={18\% \over 12} \\ &= 1,5\%\end{align}\]

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No sistema Price, as prestações são constantes (ou seja, \(A\) constante). Considerando um valor presente \(P=\$720.000,00\), pago em \(n=168 \text{ meses}\) a juros mensais de \(i_{mes}=1,5\%\), o valor de \(A\) é:


\[\begin{align} A&=P \cdot {i_{mes}\cdot(1+i_{mes})^n \over {(1+i_{mes})^n-1}} \\ &=720.000,00 \cdot {0,015\cdot(1+0,015)^{168} \over {(1+0,015)^{168}-1}} \\ &= 720.000,00 \cdot 0,01634 \\ &= \$11.764,44 \end{align}\]

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Concluindo, pelo sistema Price, o valor das prestações é, aproximadamente, \(\boxed{A=\$11.764,44}\).

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Agora, serão calculados os juros e as amortizações de cada prestação.

  • Primeira prestação: com saldo devedor inicial \(SD_0 = \$720.000,00\), os juros correspondentes à primeira prestação (valor de \(j_1\)) é:

  • \[\begin{align} j_1 &= i_{mes} \cdot SD_0 \\ &= 0,015 \cdot 720.000,00 \\ &= \$10.800,00 \end{align}\]

    ----

    Portanto, a amortização correspondente à primeira prestação (valor de \(a_1\)) é:


    \[\begin{align} a_1+j_1 &=A \\ a_1 &= A-j_1 \\ &=11.764,44 - 10.800,00 \\ &= \$964,44 \end{align}\]

    ----

    Portanto, o próximo saldo devedor (valor de \(SD_1\)) é:


    \[\begin{align} SD_1 &= SD_0 -a_1 \\ &= 720.000,00 - 964,44 \\ &= \$719.035,56 \end{align}\]

    ----

    • Segunda prestação: com saldo devedor \(SD_1 = \$719.035,56\), os juros correspondentes à segunda prestação (valor de \(j_2\)) é:

    • \[\begin{align} j_2 &= i_{mes} \cdot SD_1 \\ &= 0,015 \cdot 719.035,56 \\ &= \$10.785,53 \end{align}\]

      ----

      Portanto, a amortização correspondente à segunda prestação (valor de \(a_2\)) é:


      \[\begin{align} a_2 &= A-j_2 \\ &=11.764,44 - 10.785,53 \\ &= \$978,91 \end{align}\]

      ----

      Portanto, o próximo saldo devedor (valor de \(SD_2\)) é:


      \[\begin{align} SD_2 &= SD_1 -a_2 \\ &= 719.035,56 - 978,91 \\ &= \$718.056,65 \end{align}\]

      ----

      Realizar manualmente os cálculos correspondentes a todas as \(n=168\) prestações é inviável. Com base nas fórmulas utilizadas nas duas primeiras prestações, pode-se montar uma planilha no Excel para todas essas prestações. Com isso, pode-se responder as letras b), c), d) e e).

      Para saber se a planilha está correta, deve-se verificar que o saldo devedor final do financiamento é igual a \(SD_{168}=\$0,00\).

      ----

      b)

      Agora, pede-se o valor dos juros acumulados até o 10o ano. Com base na planilha montada no Excel, esse valor é \(\boxed{j_{10}=\$10.661,71}\).

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      c)

      Agora, pede-se o valor da amortização acumulada até a 155a prestação. Com base na planilha montada no Excel, esse valor é \(\boxed{a_{155}=\$9.550,95}\).

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      d)

      Agora, pede-se o valor do saldo devedor após pagar a 100a parcela. Com base na planilha montada no Excel, esse valor é \(\boxed{SD_{100}=\$499.332,67}\).

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      e)

      Por último, pede-se o total de juros pagos durante todo o contrato. Com base na planilha montada no Excel e na utilização da função SOMA, esse valor é \(\boxed{\sum_{n=1}^{168} j_n=\$1.256.426,30}\).

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos sobre Matemática Financeira para aplicar o sistema Price no financiamento de um imóvel.

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a)

Primeiro, pede-se o valor das prestações. Para isso, deve-se calcular a taxa mensal de juros (\(i_{mes}\)).

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Considerando um ano de \(12\) meses e juros nominais de \(i_{ano,cap}=18\% \text{ a.a.}\) (ao ano) capitalizados mensalmente, o valor de \(i_{mes}\) é:


\[\begin{align} i_{mes}&={i_{ano,cap} \over 12} \\ &={18\% \over 12} \\ &= 1,5\%\end{align}\]

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No sistema Price, as prestações são constantes (ou seja, \(A\) constante). Considerando um valor presente \(P=\$720.000,00\), pago em \(n=168 \text{ meses}\) a juros mensais de \(i_{mes}=1,5\%\), o valor de \(A\) é:


\[\begin{align} A&=P \cdot {i_{mes}\cdot(1+i_{mes})^n \over {(1+i_{mes})^n-1}} \\ &=720.000,00 \cdot {0,015\cdot(1+0,015)^{168} \over {(1+0,015)^{168}-1}} \\ &= 720.000,00 \cdot 0,01634 \\ &= \$11.764,44 \end{align}\]

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Concluindo, pelo sistema Price, o valor das prestações é, aproximadamente, \(\boxed{A=\$11.764,44}\).

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Agora, serão calculados os juros e as amortizações de cada prestação.

  • Primeira prestação: com saldo devedor inicial \(SD_0 = \$720.000,00\), os juros correspondentes à primeira prestação (valor de \(j_1\)) é:

  • \[\begin{align} j_1 &= i_{mes} \cdot SD_0 \\ &= 0,015 \cdot 720.000,00 \\ &= \$10.800,00 \end{align}\]

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    Portanto, a amortização correspondente à primeira prestação (valor de \(a_1\)) é:


    \[\begin{align} a_1+j_1 &=A \\ a_1 &= A-j_1 \\ &=11.764,44 - 10.800,00 \\ &= \$964,44 \end{align}\]

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    Portanto, o próximo saldo devedor (valor de \(SD_1\)) é:


    \[\begin{align} SD_1 &= SD_0 -a_1 \\ &= 720.000,00 - 964,44 \\ &= \$719.035,56 \end{align}\]

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    • Segunda prestação: com saldo devedor \(SD_1 = \$719.035,56\), os juros correspondentes à segunda prestação (valor de \(j_2\)) é:

    • \[\begin{align} j_2 &= i_{mes} \cdot SD_1 \\ &= 0,015 \cdot 719.035,56 \\ &= \$10.785,53 \end{align}\]

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      Portanto, a amortização correspondente à segunda prestação (valor de \(a_2\)) é:


      \[\begin{align} a_2 &= A-j_2 \\ &=11.764,44 - 10.785,53 \\ &= \$978,91 \end{align}\]

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      Portanto, o próximo saldo devedor (valor de \(SD_2\)) é:


      \[\begin{align} SD_2 &= SD_1 -a_2 \\ &= 719.035,56 - 978,91 \\ &= \$718.056,65 \end{align}\]

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      Realizar manualmente os cálculos correspondentes a todas as \(n=168\) prestações é inviável. Com base nas fórmulas utilizadas nas duas primeiras prestações, pode-se montar uma planilha no Excel para todas essas prestações. Com isso, pode-se responder as letras b), c), d) e e).

      Para saber se a planilha está correta, deve-se verificar que o saldo devedor final do financiamento é igual a \(SD_{168}=\$0,00\).

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      b)

      Agora, pede-se o valor dos juros acumulados até o 10o ano. Com base na planilha montada no Excel, esse valor é \(\boxed{j_{10}=\$10.661,71}\).

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      c)

      Agora, pede-se o valor da amortização acumulada até a 155a prestação. Com base na planilha montada no Excel, esse valor é \(\boxed{a_{155}=\$9.550,95}\).

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      d)

      Agora, pede-se o valor do saldo devedor após pagar a 100a parcela. Com base na planilha montada no Excel, esse valor é \(\boxed{SD_{100}=\$499.332,67}\).

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      e)

      Por último, pede-se o total de juros pagos durante todo o contrato. Com base na planilha montada no Excel e na utilização da função SOMA, esse valor é \(\boxed{\sum_{n=1}^{168} j_n=\$1.256.426,30}\).

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