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Física

Colegio Cev


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Nesse exercício vamos estudar velocidade e, consequentemente, derivadas temporais, além de Teorema de Pitágoras.

---

Tomando \(X\) como a distância entre a extremidade B e o cruzamento dos trilhos e \(Y\) como a distância entre a extremidade A e o cruzamento dos trilhos, temos, usando o Teorema de Pitágoras:


\[X^2+Y^2=(AB)^2\]

Derivando implicitamente em relação ao tempo, temos:


\[\dfrac{d}{dt}(X^2+Y^2)=\dfrac{d}{dt}(AB)^2\]

O lado esquerdo da igualdade pode ser separado em uma soma de derivadas. O lado direito é a derivada de uma constante, que é nulo:


\[\dfrac{d}{dt}(X^2)+\dfrac{d}{dt}(Y^2)=0\]

Vamos então usar a regra da cadeia para ambos os termos, sabendo que tanto \(X\) quanto \(Y\) dependem do tempo:


\[2X\dfrac{dX}{dt}+2Y\dfrac{dY}{dt}=0\]

Simplificando as constantes multiplicativas, temos:


\[X\dfrac{dX}{dt}+Y\dfrac{dY}{dt}=0\]

É dado que a velocidade de \(A\) é \(v_A\), ou seja:


\[\dfrac{dX}{dt}=v_A\]

Além disso, sabe-se o ângulo da barra com o eixo \(X\):


\[\tan\theta=\dfrac{Y}{X}\]

Substituindo na nossa derivada implícita, temos:


\[v_B=\dfrac{dY}{dt}=-\dfrac{X}{Y}\dfrac{dX}{dt}\]


\[|v_B|=\left|-\dfrac{1}{\tan\theta}v_A\right|\]

---

Logo:


\[\boxed{|v_B|=\dfrac{v_A}{\tan\theta}}\]

Nesse exercício vamos estudar velocidade e, consequentemente, derivadas temporais, além de Teorema de Pitágoras.

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Tomando \(X\) como a distância entre a extremidade B e o cruzamento dos trilhos e \(Y\) como a distância entre a extremidade A e o cruzamento dos trilhos, temos, usando o Teorema de Pitágoras:


\[X^2+Y^2=(AB)^2\]

Derivando implicitamente em relação ao tempo, temos:


\[\dfrac{d}{dt}(X^2+Y^2)=\dfrac{d}{dt}(AB)^2\]

O lado esquerdo da igualdade pode ser separado em uma soma de derivadas. O lado direito é a derivada de uma constante, que é nulo:


\[\dfrac{d}{dt}(X^2)+\dfrac{d}{dt}(Y^2)=0\]

Vamos então usar a regra da cadeia para ambos os termos, sabendo que tanto \(X\) quanto \(Y\) dependem do tempo:


\[2X\dfrac{dX}{dt}+2Y\dfrac{dY}{dt}=0\]

Simplificando as constantes multiplicativas, temos:


\[X\dfrac{dX}{dt}+Y\dfrac{dY}{dt}=0\]

É dado que a velocidade de \(A\) é \(v_A\), ou seja:


\[\dfrac{dX}{dt}=v_A\]

Além disso, sabe-se o ângulo da barra com o eixo \(X\):


\[\tan\theta=\dfrac{Y}{X}\]

Substituindo na nossa derivada implícita, temos:


\[v_B=\dfrac{dY}{dt}=-\dfrac{X}{Y}\dfrac{dX}{dt}\]


\[|v_B|=\left|-\dfrac{1}{\tan\theta}v_A\right|\]

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Logo:


\[\boxed{|v_B|=\dfrac{v_A}{\tan\theta}}\]

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Esaú Morais

Há mais de um mês

Muito obrigado! Aí você resolveu por derivada. Acha que daria certo se eu partisse de vetores e utilizasse também princípios da trigonometria? (Claro que provavelmente demoraria mais)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas