Podem me ajudar?

Letra E 652,34

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Pelo enunciado, o trabalhador aplica mensalmente um valor de \(A=\text{R}\$1.000,00\) durante \(n=15 \text{ anos}=180 \text{ meses}\) num fundo de previdência privada a uma taxa mensal \(i_{mes}=1,3\%=0,013\).

Com isso, o valor futuro \(F\) daqui a \(15\) anos é, aproximadamente:

\[\begin{align} F &= A \cdot {(1+i_{mes})^n-1 \over i_{mes}} \\ &= 1.000,00 \cdot {(1+0,013)^{180}-1 \over 0,013} \\ &= \text{R}\$709.682,12 \end{align}\]

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Em relação ao recebimento perpétuo do complementar da aposentadoria a partir do mês \(180\), o valor futuro \(F\) pode ser interpretado como um valor presente \(P_{180}\). Ou seja:

\[\begin{align} P_{180} &= F \\ &= \text{R}\$709.682,12 \,\,\,\, (I) \end{align}\]

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Tem-se que \(i’_{ano}=12\% \text{ a.a.}=0,12\) é a taxa anual do complementar da aposentadoria. Considerando um ano de \(12\) meses, o valor da taxa mensal \(i’_{mes}\) equivalente do complementar é:

\[\begin{align} (1+i'_{mes})^{12} &= (1+i'_{ano})^{1} \\ 1+i'_{mes} &= (1+0,12)^{1/12} \\ i'_{mes} &= (1,12)^{1/12}-1 \\ &= 0,00949 \\ &=0,949\% \,\,\,\, (II) \end{align}\]

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Tem-se que \(A’\) é o valor mensal do complementar da aposentadoria. Sendo \(n' \to \infty\) a quantidade de parcelas (recebimento perpétuo), tem-se o seguinte:

\[\begin{align} A' &= \lim_{n' \to \infty} P_{180} \cdot {i'_{mes}(1+i'_{mes})^{n'} \over (1+i'_{mes})^{n'}-1} \\ &= \lim_{n' \to \infty} P_{180} \cdot {i'_{mes} \over 1-{1/ (1+i'_{mes})^{n'}}} \\ &= P_{180} \cdot {i'_{mes} \over 1-{1/ (1+i'_{mes})^{\infty}}} \\ &= P_{180} \cdot {i'_{mes} \over 1-0} \\ &= P_{180} \cdot i'_{mes} \\ \end{align}\]

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Substituindo as equações \((I)\) e \((II)\) na equação anterior, o valor de \(A’\) é:

\[\begin{align} A' &= P_{180} \cdot i'_{mes} \\ &= \text{R}\$709.682,12 \cdot 0,00949 \\ &= \text{R}\$6.734,02 \end{align}\]

Esse valor não está presente em nenhuma das alternativas apresentadas.

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Concluindo, o valor mensal recebido de um investimento em previdência privada é, aproximadamente, \(\boxed{\text{R}\$6.734,02}\).