Questão vestibular?

Aplicando logaritmo na relação dada:

log 5^p = log 2

Pela regra do tombo

p log 5 = log 2
p = log 2 / log 5

Invertendo a relação:
1 / p = log 2 / log 5

Usando a propriedade de divisão de logaritmos de mesma base:

1 / p = log_2 5 (logaritmo de 2 na base 5)

Agora:

log_2 100 = log_2 10² = 2 x log_2 10 

100 = 10² 

log_2 100 = log_2 10²

Regra do tombo

log_2 10² = 2 x log_2 10 

10 = 5 x 2

2 x log_2 10 = 2 x log_2 (5 x 2)

Pela regra do produto:

2 x log_2 (5 x 2) = 2 x [log_2 5 + log_2 2]

Só que anteriormente vimos:

log_2 5 = 1/p

e

log_2 2 = 1

Finalmente

log_2 100 = 2 x [log_2 5 + log_2 2]

log_2 100 = 2 x [1/p + 1]

\[5^p=2\]

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Pela equação anterior, a expressão de \(p\) é:

\[p=\log_{5}2 \,\,\,\,(I)\]

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Agora, conhecendo as propriedades do logaritmo, pode-se escrever o termo \(\log_{2}100\) da seguinte forma:

\[\begin{align} \log_{2}100&=\log_{2}10^2 \\ &=2\cdot\log_{2}10 \\ &=2\cdot\log_{2}({2\cdot 5}) \\ &=2\cdot(\log_{2}{2}+\log_{2}{5}) \\ &=2\cdot \Big(1+{\log_{5}{5} \over \log_{5}{2}} \Big) \\ &=2\cdot \Big(1+{1 \over \log_{5}{2}} \Big) \,\,\,\,(II) \end{align}\]

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Substituindo a equação \((I)\) na equação \((II)\) a expressão final de \(\log_{2}100\) é:

\[\begin{align} \log_{2}100&=2\cdot \Big(1+{1 \over \log_{5}{2}} \Big) \\ &=2\cdot \Big(1+{1 \over p} \Big) \\ &=2\cdot \Big({p+1 \over p} \Big) \\ &={2p+2 \over p} \end{align}\]

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Concluindo, em função de \(p\), a expressão para o termo \(\log_{2}100\) é \(\boxed{\log_{2}100={2p+2 \over p}}\).