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Matemática

PUC-RIO


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Há mais de um mês

Para esta questão é preciso saber como encontrar uma função inversa e as propriedades do logaritmo.

---

Por conveniência, chamaremos \(f(x)=y\), assim, temos a função


\[y=\log_5(3)+\log_5(x+10)\]

Pela propriedade multiplicativa do logaritmo, temos que \(\log_a(b)+\log_a(c)=\log_a(b \cdot c)\), quaisquer que sejam \(a, b\) e \(c\), com \(a \neq 1\). Assim, sendo \(a=5\), \(b=3\) e \(c=x+10\), teremos


\[y=\log_5(3(x+10))\]

Por fim, sabemos que, pela definição do logaritmo, \(\log_a(b)= x\) se, e somente se, \(a^x=b\). Sendo \(a=5\), \(b=3(x+10)\) e \(b=y\), vem que


\[5^y=3(x+10)\]

Finalmente, basta isolar \(x\) para encontrar a função inversa de \(y=\log_5(3)+\log_5(x+10)\):


\[\begin{aligned} x+10 &= \dfrac{5^y}{3} \Longleftrightarrow \\ x &= \dfrac{5^y}{3}-10 \Longleftrightarrow \\ x &= \dfrac{1}{3}(5^y-30) \end{aligned}\]

---

Portanto, a função inversa de \(y=\log_5(3)+\log_5(x+10)\) é dada por \(\boxed{x = \dfrac{1}{3}(5^y-30)}\).

Para esta questão é preciso saber como encontrar uma função inversa e as propriedades do logaritmo.

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Por conveniência, chamaremos \(f(x)=y\), assim, temos a função


\[y=\log_5(3)+\log_5(x+10)\]

Pela propriedade multiplicativa do logaritmo, temos que \(\log_a(b)+\log_a(c)=\log_a(b \cdot c)\), quaisquer que sejam \(a, b\) e \(c\), com \(a \neq 1\). Assim, sendo \(a=5\), \(b=3\) e \(c=x+10\), teremos


\[y=\log_5(3(x+10))\]

Por fim, sabemos que, pela definição do logaritmo, \(\log_a(b)= x\) se, e somente se, \(a^x=b\). Sendo \(a=5\), \(b=3(x+10)\) e \(b=y\), vem que


\[5^y=3(x+10)\]

Finalmente, basta isolar \(x\) para encontrar a função inversa de \(y=\log_5(3)+\log_5(x+10)\):


\[\begin{aligned} x+10 &= \dfrac{5^y}{3} \Longleftrightarrow \\ x &= \dfrac{5^y}{3}-10 \Longleftrightarrow \\ x &= \dfrac{1}{3}(5^y-30) \end{aligned}\]

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Portanto, a função inversa de \(y=\log_5(3)+\log_5(x+10)\) é dada por \(\boxed{x = \dfrac{1}{3}(5^y-30)}\).

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas