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Em Geometria Analítica, o estudo de figuras geométricas como cônicas e quádricas envolve propriedades das matrizes, entre elas autoverotes e autovalores.

---

Uma quádrica tem forma geral:


\[A{X^2} + B{Y^2} + C{Z^2} + DXY + EXZ + FYZ + GX + HY + IZ + J = 0\]

De modo que a forma geral das cônicas ocorre quando \(C = E = F = I = 0\).

Podemos reescrever a equação do seguinte modo:


\[XA{X^T} + KX + J = 0\]

Onde \(X = \left[ {X\;\;\;\;Y\;\;\;\;Z} \right]\) , \(K = \left[ {G\;\;\;\;H\;\;\;\;I} \right]\) e


\[A = \left( {\matrix{ A & {D/2} & {E/2} \cr {D/2} & B & {F/2} \cr {E/2} & {F/2} & C } } \right)\]

Para chegarmos à forma reduzida e identificarmos a quádrica, escrevemos a matriz como


\[A = PD{P^T}\]

Onde \(P = \left[ {{W_1}\;\;\;\;{W_2}\;\;\;\;{W_3}} \right]\) com \({W_i}\) versor do autovetor \({V_1}\) de \(A\) ;


\[D = \left( {\matrix{ {{\lambda _1}} & 0 & 0 \cr 0 & {{\lambda _2}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\lambda _3}} } } \right)\]

onde \({\lambda _i}\) é autovalor de \(A\).

Então, fazendo a mudança , conseguimos reescrever a equação geral da quádrica (ou cônica, satisfeitos os requisites) e identificar a figura correspondente na sua forma reduzida.

----

Portanto, para chegarmos à forma geral de cada cônica apresentada, deve-se seguir os passos citados acima, fazendo rotação e translação da equação (usando a equação geral das cônicas).

Em Geometria Analítica, o estudo de figuras geométricas como cônicas e quádricas envolve propriedades das matrizes, entre elas autoverotes e autovalores.

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Uma quádrica tem forma geral:


\[A{X^2} + B{Y^2} + C{Z^2} + DXY + EXZ + FYZ + GX + HY + IZ + J = 0\]

De modo que a forma geral das cônicas ocorre quando \(C = E = F = I = 0\).

Podemos reescrever a equação do seguinte modo:


\[XA{X^T} + KX + J = 0\]

Onde \(X = \left[ {X\;\;\;\;Y\;\;\;\;Z} \right]\) , \(K = \left[ {G\;\;\;\;H\;\;\;\;I} \right]\) e


\[A = \left( {\matrix{ A & {D/2} & {E/2} \cr {D/2} & B & {F/2} \cr {E/2} & {F/2} & C } } \right)\]

Para chegarmos à forma reduzida e identificarmos a quádrica, escrevemos a matriz como


\[A = PD{P^T}\]

Onde \(P = \left[ {{W_1}\;\;\;\;{W_2}\;\;\;\;{W_3}} \right]\) com \({W_i}\) versor do autovetor \({V_1}\) de \(A\) ;


\[D = \left( {\matrix{ {{\lambda _1}} & 0 & 0 \cr 0 & {{\lambda _2}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\lambda _3}} } } \right)\]

onde \({\lambda _i}\) é autovalor de \(A\).

Então, fazendo a mudança , conseguimos reescrever a equação geral da quádrica (ou cônica, satisfeitos os requisites) e identificar a figura correspondente na sua forma reduzida.

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Portanto, para chegarmos à forma geral de cada cônica apresentada, deve-se seguir os passos citados acima, fazendo rotação e translação da equação (usando a equação geral das cônicas).

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas