Função irredutível?

\[x=2+{2 \over 10}+{2 \over 10^2}+{2 \over 10^3}+{2 \over 10^4}+\]

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A expressão de \(x\) pode ser identificada como uma _progressão geométrica_ (ou PG). Uma progressão geométrica consiste em uma sequência numérica na qual os termos \(a_2,a_3\) são determinados com base no produto entre o termo imediatamente anterior e uma razão \(q\).

Sendo \(a_1=2\) o primeiro termo da sequência e \(q={1 \over 10}\) a razão da mesma, tem-se que o termo \(a_2\) é igual a \(a_1\cdot q=2\cdot {1 \over 10} = {2 \over 10}\), o termo \(a_3\) é igual a \(a_2\cdot q={2 \over 10}\cdot {1 \over 10} = {2 \over 10^2}\), e assim por diante.

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Uma vez que a razão \(q={1 \over 10}\) é menor do que \(1\) e que a sequência de \(x\) possui infinitos termos, a soma \(S\) dessa sequência é dada pela seguinte equação:

\[S={a_1 \over 1-q}\]

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Substituindo os termos conhecidos na equação anterior, a fração \(S\) é:

\[\begin{align} S&={a_1 \over 1-q} \\ &={2 \over 1-{1 \over 10}} \\ &={2 \over {10 \over 10}-{1 \over 10}} \\ &={2 \over {9 \over 10}} \\ &={2\cdot 10 \over 9} \\ &={20 \over 9} \\ \end{align}\]

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Ou seja, a fração de \(x\) é:

\[\begin{align} x&=S \\ &={20 \over 9} \end{align}\]

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Concluindo, reduzindo a sequência do enunciado, a fração de \(x\) é igual a \(\boxed{20 \over 9}\).