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Sendo A e B?

Matemática

PUC-RIO


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Há mais de um mês

Nesse exercício vamos estudar conjuntos e seus complementos, intersecções e uniões.

---

O exercício nos diz que:


\[A\cap B=\varnothing\]

Isto é, não há elementos na intersecção entre os conjuntos, ou, de forma mais simples, não existe nenhum elemento que pertença ao mesmo tempo a \(A\) e a \(B\).

---

Vamos determinar:


\[X=\complement_A(A\cap B)\cap \complement_{B\cup A}B\]

Vamos determinar cada parte dessa expressão independentemente. O símbolo \(\complement\) se refere ao complemento, de forma que \(\complement_AB\) significa o complemento de \(B\) em relação a \(A\), isto é, o conjunto dos elementos de \(A\) que não estão em \(B\).


\[\complement_A(A\cap B)=\{x|x\in A, x\notin A\cap B\}=\{x|x\in A, x\notin \varnothing\}=\{x|x\in A\}=A\]


\[\complement_{B\cup A}B=\{x|x\in B\cup A, x\notin B\}=\{x|x\in A\}=A\]

---

Voltando à expressão a ser calculada, temos:


\[X=\complement_A(A\cap B)\cap \complement_{B\cup A}B\]


\[X=A\cap A\]

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Logo, a alternativa A é a correta:


\[\boxed{\complement_A(A\cap B)\cap \complement_{B\cup A}B=A}\]

Nesse exercício vamos estudar conjuntos e seus complementos, intersecções e uniões.

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O exercício nos diz que:


\[A\cap B=\varnothing\]

Isto é, não há elementos na intersecção entre os conjuntos, ou, de forma mais simples, não existe nenhum elemento que pertença ao mesmo tempo a \(A\) e a \(B\).

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Vamos determinar:


\[X=\complement_A(A\cap B)\cap \complement_{B\cup A}B\]

Vamos determinar cada parte dessa expressão independentemente. O símbolo \(\complement\) se refere ao complemento, de forma que \(\complement_AB\) significa o complemento de \(B\) em relação a \(A\), isto é, o conjunto dos elementos de \(A\) que não estão em \(B\).


\[\complement_A(A\cap B)=\{x|x\in A, x\notin A\cap B\}=\{x|x\in A, x\notin \varnothing\}=\{x|x\in A\}=A\]


\[\complement_{B\cup A}B=\{x|x\in B\cup A, x\notin B\}=\{x|x\in A\}=A\]

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Voltando à expressão a ser calculada, temos:


\[X=\complement_A(A\cap B)\cap \complement_{B\cup A}B\]


\[X=A\cap A\]

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Logo, a alternativa A é a correta:


\[\boxed{\complement_A(A\cap B)\cap \complement_{B\cup A}B=A}\]

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas