A maior rede de estudos do Brasil

Intervalo?

Matemática

PUC-RIO


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

User badge image

RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para esta questão precisamos saber encontrar números complexos em raízes e trabalhar com intervalos.

---

Por \(f(x)= \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[5]{x^2-4}} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}+ \dfrac{\sqrt[3]{3x}}{\sqrt{x-3}}\) se tratar de uma função real, podemos representar seu domínio extraindo de \(\R\) todos os valores de \(x\) que levam a valores complexos.

Primeiramente, em \(\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[5]{x^2-4}}\), precisamos analisar apenas seu denominador, pois \(x^2+1 \geqslant 0, \forall x \in \R\). Como a raiz do denominador não pode ser negativa, tampouco nula, temos


\[\begin{aligned} x^2-4 &\leqslant 0 \Longleftrightarrow \\ x &\leqslant \sqrt{4} = 2 \end{aligned}\]

Em \(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}\) não temos problemas, pois \(x^2+2 \geqslant 0, \forall x \in R\).

Finalmente, em \(\dfrac{\sqrt[3]{3x}}{\sqrt{x-3}}\), precisamos analisar tanto o numerador quanto o denominador. Seu numerador não pode ser negativo, portanto


\[\begin{aligned} 3x &< 0 \Longleftrightarrow \\ x &< 0 \end{aligned}\]

Por fim, seu denominador não pode ser negativo, tampouco nulo, logo


\[\begin{aligned} x-3 &\leqslant 0 \Longleftrightarrow \\ x &\leqslant 3 \end{aligned}\]

Logo, seja \(D\) o domínio da função, temos que


\[\begin{aligned} D &= \R - \{x \in \R: x \leqslant 2\} - \{x \in \R: x<0\} - \{x \in \R: x \leqslant 3\} \\ &= \R - \{x \in \R: x \leqslant 3\} \\ & = \{x \in \R: x>3\} \end{aligned}\]

---

Portanto, o domínio da função \(f(x)= \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[5]{x^2-4}} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}+ \dfrac{\sqrt[3]{3x}}{\sqrt{x-3}}\) é o intervalo \(\boxed{D=\{x \in \R: x>3\}}\).

Para esta questão precisamos saber encontrar números complexos em raízes e trabalhar com intervalos.

---

Por \(f(x)= \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[5]{x^2-4}} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}+ \dfrac{\sqrt[3]{3x}}{\sqrt{x-3}}\) se tratar de uma função real, podemos representar seu domínio extraindo de \(\R\) todos os valores de \(x\) que levam a valores complexos.

Primeiramente, em \(\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[5]{x^2-4}}\), precisamos analisar apenas seu denominador, pois \(x^2+1 \geqslant 0, \forall x \in \R\). Como a raiz do denominador não pode ser negativa, tampouco nula, temos


\[\begin{aligned} x^2-4 &\leqslant 0 \Longleftrightarrow \\ x &\leqslant \sqrt{4} = 2 \end{aligned}\]

Em \(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}\) não temos problemas, pois \(x^2+2 \geqslant 0, \forall x \in R\).

Finalmente, em \(\dfrac{\sqrt[3]{3x}}{\sqrt{x-3}}\), precisamos analisar tanto o numerador quanto o denominador. Seu numerador não pode ser negativo, portanto


\[\begin{aligned} 3x &< 0 \Longleftrightarrow \\ x &< 0 \end{aligned}\]

Por fim, seu denominador não pode ser negativo, tampouco nulo, logo


\[\begin{aligned} x-3 &\leqslant 0 \Longleftrightarrow \\ x &\leqslant 3 \end{aligned}\]

Logo, seja \(D\) o domínio da função, temos que


\[\begin{aligned} D &= \R - \{x \in \R: x \leqslant 2\} - \{x \in \R: x<0\} - \{x \in \R: x \leqslant 3\} \\ &= \R - \{x \in \R: x \leqslant 3\} \\ & = \{x \in \R: x>3\} \end{aligned}\]

---

Portanto, o domínio da função \(f(x)= \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[5]{x^2-4}} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}+ \dfrac{\sqrt[3]{3x}}{\sqrt{x-3}}\) é o intervalo \(\boxed{D=\{x \in \R: x>3\}}\).

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas