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Velocidade do projétil?

Física

PUC-RIO


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Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos sobre Física para analisar o movimento retilíneo uniformemente variável de um projétil lançado verticalmente para cima.

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a)

Para este exercício, será adotado como sentido positivo o sentido de baixo para cima. Sendo \(g=10\text{ m/s}^2\), a aceleração submetida ao projétil é:


\[\begin{align} a&=-g \\ &=-10\text{ m/s}^2 \end{align}\]

---

Agora, será utilizada a equação de Torricelli. Com isso, a variação de deslocamento vertical do projétil é:


\[\begin{align} v^2&=v_0^2+2a\Delta s \\ \Delta s &={ v^2-v_0^2 \over 2a}\\ \end{align}\]

---

O deslocamento vertical máximo ocorre quando a velocidade final do projétil é \(v_f=0\text{ m/s}\). Sendo \(v_0=60\text{ m/s}\) a velocidade do projétil no instante inicial \(t_0=0\), o valor de \(\Delta s\) é:


\[\begin{align} \Delta s &={ v_f^2-v_0^2 \over 2a}\\ &={ 0^2-60^2 \over 2\cdot (-10)}\\ &={ -3.600 \over -20}\\ &=180\text{ m} \end{align}\]

----

Se \(\Delta s = 180\text{ m}\) é a altura máxima, então \(\Delta s_{meio}=90\text{ m}\) é a metade do trajeto. Portanto, pela equação de Torricelli, a velocidade \(v_{meio}\) correspondente é:


\[\begin{align} v_{meio}^2&=v_0^2+2a\Delta s_{meio} \\ v_{meio} &= \sqrt{v_0^2+2a\Delta s_{meio} } \\ &= \sqrt{60^2+2\cdot(-10) \cdot90 } \\ &= \sqrt{3.600-1.800} \\ &= \sqrt{1.800} \\ &=42,43 \text{ m/s} \end{align}\]

----

Concluindo, na metade da altura máxima, o módulo da velocidade do projétil é, aproximadamente, \(\boxed{42,43 \text{ m/s}}\).

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b)

Agora, será calculado o instante (após o lançamento) em que o projétil chega ao solo.

----

Pelos cálculos anteriores, o tempo que o projétil leva do solo até a altura máxima é encontrado pela seguinte equação:


\[\begin{align} \Delta s &=v_0t + {a \over 2}t^2 \\ 180 &=60t - {10 \over 2}t^2 \\ 0 &=-180+60t - 5t^2 \\ 0 &=-36+12t - t^2 \\ 0 &=t^2-12t+36 \\ 0 &=(t-6)^2 \\ \end{align}\]

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Portanto, o valor de \(t_f\) é:


\[t_f =6\text{ s}\]

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O tempo do solo até a altura máxima é igual ao tempo que o projétil leva para cair da altura máxima até o solo. Com isso, o tempo total do projétil no ar é:


\[\begin{align} t'&=2t_f \\ &=2\cdot 6 \\ &=12 \text{ s} \end{align}\]

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Concluindo, após o lançamento, o projétil chega ao solo em \(\boxed{t=12 \text{ s}}\).

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos sobre Física para analisar o movimento retilíneo uniformemente variável de um projétil lançado verticalmente para cima.

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a)

Para este exercício, será adotado como sentido positivo o sentido de baixo para cima. Sendo \(g=10\text{ m/s}^2\), a aceleração submetida ao projétil é:


\[\begin{align} a&=-g \\ &=-10\text{ m/s}^2 \end{align}\]

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Agora, será utilizada a equação de Torricelli. Com isso, a variação de deslocamento vertical do projétil é:


\[\begin{align} v^2&=v_0^2+2a\Delta s \\ \Delta s &={ v^2-v_0^2 \over 2a}\\ \end{align}\]

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O deslocamento vertical máximo ocorre quando a velocidade final do projétil é \(v_f=0\text{ m/s}\). Sendo \(v_0=60\text{ m/s}\) a velocidade do projétil no instante inicial \(t_0=0\), o valor de \(\Delta s\) é:


\[\begin{align} \Delta s &={ v_f^2-v_0^2 \over 2a}\\ &={ 0^2-60^2 \over 2\cdot (-10)}\\ &={ -3.600 \over -20}\\ &=180\text{ m} \end{align}\]

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Se \(\Delta s = 180\text{ m}\) é a altura máxima, então \(\Delta s_{meio}=90\text{ m}\) é a metade do trajeto. Portanto, pela equação de Torricelli, a velocidade \(v_{meio}\) correspondente é:


\[\begin{align} v_{meio}^2&=v_0^2+2a\Delta s_{meio} \\ v_{meio} &= \sqrt{v_0^2+2a\Delta s_{meio} } \\ &= \sqrt{60^2+2\cdot(-10) \cdot90 } \\ &= \sqrt{3.600-1.800} \\ &= \sqrt{1.800} \\ &=42,43 \text{ m/s} \end{align}\]

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Concluindo, na metade da altura máxima, o módulo da velocidade do projétil é, aproximadamente, \(\boxed{42,43 \text{ m/s}}\).

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b)

Agora, será calculado o instante (após o lançamento) em que o projétil chega ao solo.

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Pelos cálculos anteriores, o tempo que o projétil leva do solo até a altura máxima é encontrado pela seguinte equação:


\[\begin{align} \Delta s &=v_0t + {a \over 2}t^2 \\ 180 &=60t - {10 \over 2}t^2 \\ 0 &=-180+60t - 5t^2 \\ 0 &=-36+12t - t^2 \\ 0 &=t^2-12t+36 \\ 0 &=(t-6)^2 \\ \end{align}\]

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Portanto, o valor de \(t_f\) é:


\[t_f =6\text{ s}\]

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O tempo do solo até a altura máxima é igual ao tempo que o projétil leva para cair da altura máxima até o solo. Com isso, o tempo total do projétil no ar é:


\[\begin{align} t'&=2t_f \\ &=2\cdot 6 \\ &=12 \text{ s} \end{align}\]

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Concluindo, após o lançamento, o projétil chega ao solo em \(\boxed{t=12 \text{ s}}\).

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