Movimento uniforme?

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a)

Primeiro, será determinado o tempo necessário para o saco de areia chegar ao solo.

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Ao longo deste exercício, será adotado como sentido positivo o sentido de baixo para cima. Sendo \(g=10 \text{ m/s}^2\) a aceleração da gravidade, a aceleração à qual o saco de areia é submetido é:

\[\begin{align} a&=-g \\ &=-10 \text{ m/s}^2 \end{align}\]

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Além disso, sabe-se que a velocidade inicial (ou seja, no instante de abandono) é igual à velocidade constante do balão. Como essa velocidade é descendente, o valor de \(v_0\) é:

\[v_0=-5\text{ m/s}\]

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Sendo \(s_f=0\text{ m}\) a altitude final do saco (ou seja, no solo), \(s_0=100 \text{ m}\) a altitude inicial, o tempo gasto pelo saco de areia até chegar ao solo é determinado pela seguinte equação:

\[\begin{align} s_f&=s_0+v_0t+{a \over 2}t^2 \\ 0&=100-5t-{10 \over 2}t^2 \\ 0&=100-5t-5t^2 \\ 0&=-t^2-t+20 \\ 0&=-(t+5)(t-4) \end{align}\]

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Como o instante de tempo deve ser maior do que zero, o valor de \(t\) que satisfaz a equação anterior é:

\[t=4\text{ s}\]

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Concluindo, após o abandono do balão, o saco de areia leva um tempo igual a \(\boxed{t=4\text{ s}}\) para chegar ao solo.

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b)

Agora, será determinada a velocidade com a qual o saco de areia atinge o solo. Há duas formas de calcular esse valor.

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1. Equação de Torricelli \(v_f^{2} =v_0^2 + 2a(s-s_0)\): substituindo os parâmetros conhecidos, o módulo da velocidade final \(v_f\) é:


\[\begin{align} v_f^{2} &=v_0^2 + 2a(s_f-s_0) \\ v_f&= \sqrt{ v_0^2 + 2a(s_f-s_0) } \\ &= \sqrt{ (-5)^2 + 2\cdot (-10)(0-100) } \\ &= \sqrt{ 25 + 2\cdot 10 \cdot 100 } \\ &= \sqrt{ 2.025 } \\ &= -45 \\ |v_f|&=45 \text{ m/s}\,\,\,\,(I) \end{align}\]


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1. Equação \(v_f=v_0+at\): substituindo os parâmetros conhecidos, o módulo da velocidade final \(v_f\) é:


\[\begin{align} v_f&=v_0+at \\ &=-5-10\cdot 4 \\ &=-5-40 \\ &=-45 \\ |v_f|&=45 \text{ m/s}\,\,\,\,(II) \end{align}\]


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Conforme esperado, os resultados representados nas equações \((I)\) e \((II)\) são iguais.

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Concluindo, o módulo da velocidade com a qual o saco de areia chega ao solo é igual a \(\boxed{|v_f|=45 \text{ m/s}}\).