Calcule a distância de ultrapassagem?

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1. Moto: sendo \(v_m=10\text{ m/s}\) a velocidade constante da moto, tem-se que sua posição inicial é \(s_{0,m}=0\text{ m}\) (ponto correspondente ao semáforo). Portanto, a função de posição \(s_m(t)\) da moto (em relação ao semáforo) é:


\[\begin{align} s_m(t)&=s_{0,m}+v_m t \\ &=0+10 t \\ &=10t \,\,\,\, (I) \end{align}\]


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1. Carro: sendo \(a_c=2\text{ m/s}^2\) a aceleração do carro, tem-se que sua velocidade inicial e posição inicial são, respectivamente, \(v_{0,c}=0\text{ m/s}\) e \(s_{0,c}=0\text{ m}\). Portanto, a função de posição \(s_c(t)\) da moto (em relação ao semáforo) é:


\[\begin{align} s_c(t)&=s_{0,c}+v_{0,c} t+{a_c \over 2}t^2 \\ &= 0+0t+{2 \over 2}t^2 \\ &= t^2 \,\,\,\,(II) \end{align}\]


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Igualando as duas equações, pode-se encontrar o instante de tempo no qual o carro ultrapassa a moto. Com isso, a equação resultante é:


\[\begin{align} s_m(t) &= s_c(t) \\ 10t&= t^2 \\ -t^2+10t&= 0 \\ -t\cdot(t-10)&= 0 \end{align}\]


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A equação anterior possui duas soluções. A primeira solução é \(t=0\), corresponde à ultrapassagem realizada pela moto quando o semáforo abre. Já a segunda solução de fato corresponde à ultrapassagem realizada pelo carro. Esse instante é:


\[t=10\text{ s}\]


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Nesse instante, a distância do carro em relação ao semáforo é:


\[\begin{align} s_c(t) &= t^2 \\ s_c(10) &= 10^2 \\ &= 100 \text{ m} \end{align}\]


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Concluindo, o carro ultrapassa a moto a uma distância de \(\boxed{100\text{ m}}\) em relação ao semáforo.