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Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base com velocidade v = 30 m\/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m\/s2 e desprezando

Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base com velocidade v = 30 m\/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m\/s2 e desprezando-se a resistência do ar, determine o tempo que o objeto leva para voltar à base da qual foi lançado.

💡 15 Respostas

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Andre Smaira

Resolução

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Para a resolução desta questão é necessário empregar conceitos de cinemática, como a determinação da equação de movimento do objeto envolvido e conceitos de queda livre.

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O problema envolve o lançamento vertical de um objeto que sofre ação da gravidade. Para que seu movimento seja descrito matematicamente, é necessário determinar sua equação do movimento, que é dada pela seguinte expressão geral em função do tempo:


\[s\left( t \right) = {a \over 2} \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t + {s_0}\]

Onde:

  • s: é a distância percorrida pelo corpo em relação ao espaço inicial (s0) em função do tempo (t) decorrido;
  • a: é a aceleração que o corpo sofre, que, no caso é, o valor da aceleração da gravidade (g = 10 m/s2);
  • v0: é a velocidade do corpo no instante inicial.

No caso, pode-se considerar o espaço inicial (s0) como sendo o ponto de lançamento do objeto, portanto:


\[s_0=0\]

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No caso, o objeto é arremessado na vertical, sofrendo aceleração da gravidade negativa, até sua velocidade de subida torna-se nula no ponto mais alto do arremesso. Daí ocorre a mudança de direção da velocidade e o objeto desce até atingir o ponto de lançamento. O tempo de subida e de descida possuem valores iguais. A equação de movimento do corpo é a seguinte:


\[\eqalign{ s\left( t \right) &= \dfrac{{ - 10}}{2} \cdot {t^2} + 30 \cdot t + 0\quad \to\crs\left( t \right) &= - 5 \cdot {t^2} + 30 \cdot t }\]

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Quando o objeto volta a atingir o ponto de lançamento, após a queda, ele volta a passar pela origem (s = 0), portanto:


\[\eqalign{ s\left( t \right) &= 0\quad \to\cr- 5 \cdot {t^2} + 30 \cdot t &= 0\quad \to\crt \cdot \left( { - 5 \cdot t + 30} \right) &= 0\quad \to }\]


\[\left\{ \begin{gathered} {t_1} = 0\;s \\ \boxed{{t_2} = 6\;s} \\ \end{gathered} \right.% MathType!End!2!1!\]

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Portanto, o tempo pedido é de 6 segundos.

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