Determine a raiz da equaçao f(x)=ex+x2-6=0 utilizando o metodo de newton com erro menor ou igual a 0.01?

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\[{x_{n + 1}} = {x_n} - \dfrac{{f\left( {{x_n}} \right)}}{{f'\left( {{x_n}} \right)}},{\text{ }}n = 0,1,2, \ldots\]

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Para esta questão, temos \(f\left( x \right) = {e^x} + {x^2} - 6\). Logo, sua derivada é dada por \(f'\left( x \right) = {e^x} + 2x\). Como \(f\left( 1 \right) < 0\) e \(f\left( 2 \right) > 0\), podemos inferir que existe uma raiz entre 1 e 2. Logo, vamos tomar \(x_0=1\) como aproximação inicial. Para \(n=0\), temos:

\[\eqalign{ {x_1} &= {x_0} - \dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\cr&= 1 - \dfrac{{e + {1^2} - 6}}{{e + 2 \cdot 1}}\cr&= 1,48359 }\]

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Como o erro \(\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right)}}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} = 0,48359\) é maior que 0,01, devemos realizar mais uma iteração. Assim, para \(n=1\):

\[\eqalign{ {x_2} &= {x_1} - \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right)}}{{f'\left( {{x_1}} \right)}}\cr&= 1,48359 - \dfrac{{{e^{1,48359}} + {{\left( {1,48359} \right)}^2} - 6}}{{{e^{1,48359}} + 2 \cdot 1,48359}}\cr&= 1,40091 }\]

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Como \(\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right)}}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} = 0,08267\) é maior que 0,01, devemos realizar mais uma iteração. Assim, para \(n=2\):

\[\eqalign{ {x_3} &= {x_2} - \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right)}}{{f'\left( {{x_2}} \right)}}\cr&= 1,40091 - \dfrac{{{e^{1,40091}} + {{\left( {1,40091} \right)}^2} - 6}}{{{e^{1,40091}} + 2 \cdot 1,40091}}\cr&= 1,39778 }\]

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Como \(\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right)}}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} = 0,00312\) é menor que 0,01, a raiz pedida foi encontrada.

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Portanto, a raiz pedida é \(\boxed{1,39778}\).