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Qual a diferença de derivação implícita para derivação explicita?

Cálculo IUFAM

2 resposta(s)

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Gustavo

Há mais de um mês

Derivada implícita com exemplos numéricos 
Antes de introduzir uma regra geral que permite obter os extremos de uma função definida por F(x,y)=0 de uma forma implícita, apresentaremos dois exemplos numéricos com funções conhecidas. 
Exemplo: Consideremos a curva conhecida como Folium de Descartes, definida de forma implícita por: 
F(x,y) = x³ + y³ - 3axy = 0 (a>0) 
Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima). 
Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de y=y(x) e a dificuldade é obter de forma explícita y=y(x). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função y=y(x) é muito complicada. Existem outras situações que nem mesmo é possível explicitar y=y(x). Para contornar estes problemas, usaremos a derivação da função definida implicitamente pela curva: x³ + y³ - 3axy = 0 
Para realizar a derivação implícita, subentendemos que existe y=y(x) de modo que ao substituir y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é: 3 x² + 3 y²(x) y'(x) - 3a [x y'(x) + y(x)] = 0 
Simplificando, obtemos (y² - ax) y'(x) = ay - x² 
Desta relação, já temos a derivada y'=y'(x): 
Os pontos críticos xo são aqueles nos quais a primeira derivada se anula, isto é, y'(xo)=0. Assim, existe uma solução trivial P=(0,0), mas é fácil perceber que este ponto pertence à curva dada. Para obter outros pontos críticos, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações: 
ay - x² = 0 
x³ + y³ -3axy = 0 
Este sistema fornece o ponto crítico Q=(xo,yo), dado por: 
xo=a 21/3 e yo=a 24/3 
Para evitar as frações, usaremos a expressão: 
(y² - ax) y '(x) = ay - x² 
Realizando a derivada implícita desta última relação, obtemos: y'' (y²-ax) + y' (2.y.y' -a) = a.y'-2x 
Tomando esta relação no ponto x=xo e levando em consideração que y'(xo)=0, a expressão fica bem simples: 
y''(xo) (yo²-axo) = -2xo 
Substituindo os valores de xo e yo,obtemos: 
y''(xo) = -2/a < 0 
Logo, xo=a.21/3 é um ponto de máximo e yo=a.41/3 é o valor máximo de y=y(x). 
Exemplo: Consideremos a elipse rodada em relação aos eixos normais, definida implicitamente por 
F(x,y) = x² + xy + y² - 3 = 0 
Nosso objetivo é obter os extremos desta curva no plano cartesiano. Aqui existe também a dificuldade em explicitar y=y(x). A fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara) resolve o problema mas a expressão de y=y(x) fica complicada. Obteremos as duas primeiras derivadas de y=y(x), usando o processo de derivação implícita. 
Para realizar a primeira derivada implícita, vamos subentender que existe y=y(x) de modo que substituindo y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é: 
2x + x.y' + y + 2y.y' = 0 
Simplificando, obtemos 
(x +2y) y' = -(y+2x) 
Desta relação, temos a derivada: 
Os pontos críticos xo são os que anulam a primeira derivada, isto é, y '(xo)=0. Dessa forma, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema: 
y + 2x = 0 
x²+xy+y² =3 
Este sistema fornece os pontos P=(-1,2) e Q=(1,-2). 
Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão (x +2y) y' = -(y+2x) 
Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos: 
y''(x) (x+2y) + y'(x) (1+2y') = -y'(x)-2 
Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos: 
O ponto P=(-1,2) é ponto de máximo, pois 
y''(-1) = - 2/3 < 0 
O ponto Q=(1,-2) é ponto de mínimo, pois 
y''(1) = 2/3 > 0 
Regra geral com derivada implícita 
Seja uma função definida implicitamente por F(x,y)=0. Como nem sempre é possível explicitar y=y(x) tal que 
F(x,y(x))=0 
utilizaremos derivadas parciais de F em relação a x e de F em relação a y, denotadas respectivamente por Fx e Fy, para realizar a derivada implícita da função para obter: 
Fx(x,y(x)) + Fy(x,y(x)) . y'(x) = 0 
Esta última relação pode ser simplificada na forma: 
Fx + Fy . y' = 0 
donde segue que 
Usando a relação Fx+Fy.y'=0, podemos realizar mais uma derivada implícita, para obter:Fxx+Fxy.y'+Fy.y''+Fy.(y')²=0 
Como nos pontos críticos P=(xo,yo), temos que y'(xo)=0, 
então: Fxx(P)+Fy(P).y''(xo)=0 
e assim temos que 
Conclusão: Seja P=(xo,yo) um ponto crítico para y=y(x) que subentende a forma explícita da função F(x,y)=0, isto é, y'(xo)=0. 
Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem o mesmo sinal, P será ponto de máximo para função F(x,y)=0. 
Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem sinais diferentes, P será ponto de mínimo para função F(x,y)=0.

Derivada implícita com exemplos numéricos 
Antes de introduzir uma regra geral que permite obter os extremos de uma função definida por F(x,y)=0 de uma forma implícita, apresentaremos dois exemplos numéricos com funções conhecidas. 
Exemplo: Consideremos a curva conhecida como Folium de Descartes, definida de forma implícita por: 
F(x,y) = x³ + y³ - 3axy = 0 (a>0) 
Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima). 
Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de y=y(x) e a dificuldade é obter de forma explícita y=y(x). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função y=y(x) é muito complicada. Existem outras situações que nem mesmo é possível explicitar y=y(x). Para contornar estes problemas, usaremos a derivação da função definida implicitamente pela curva: x³ + y³ - 3axy = 0 
Para realizar a derivação implícita, subentendemos que existe y=y(x) de modo que ao substituir y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é: 3 x² + 3 y²(x) y'(x) - 3a [x y'(x) + y(x)] = 0 
Simplificando, obtemos (y² - ax) y'(x) = ay - x² 
Desta relação, já temos a derivada y'=y'(x): 
Os pontos críticos xo são aqueles nos quais a primeira derivada se anula, isto é, y'(xo)=0. Assim, existe uma solução trivial P=(0,0), mas é fácil perceber que este ponto pertence à curva dada. Para obter outros pontos críticos, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações: 
ay - x² = 0 
x³ + y³ -3axy = 0 
Este sistema fornece o ponto crítico Q=(xo,yo), dado por: 
xo=a 21/3 e yo=a 24/3 
Para evitar as frações, usaremos a expressão: 
(y² - ax) y '(x) = ay - x² 
Realizando a derivada implícita desta última relação, obtemos: y'' (y²-ax) + y' (2.y.y' -a) = a.y'-2x 
Tomando esta relação no ponto x=xo e levando em consideração que y'(xo)=0, a expressão fica bem simples: 
y''(xo) (yo²-axo) = -2xo 
Substituindo os valores de xo e yo,obtemos: 
y''(xo) = -2/a < 0 
Logo, xo=a.21/3 é um ponto de máximo e yo=a.41/3 é o valor máximo de y=y(x). 
Exemplo: Consideremos a elipse rodada em relação aos eixos normais, definida implicitamente por 
F(x,y) = x² + xy + y² - 3 = 0 
Nosso objetivo é obter os extremos desta curva no plano cartesiano. Aqui existe também a dificuldade em explicitar y=y(x). A fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara) resolve o problema mas a expressão de y=y(x) fica complicada. Obteremos as duas primeiras derivadas de y=y(x), usando o processo de derivação implícita. 
Para realizar a primeira derivada implícita, vamos subentender que existe y=y(x) de modo que substituindo y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é: 
2x + x.y' + y + 2y.y' = 0 
Simplificando, obtemos 
(x +2y) y' = -(y+2x) 
Desta relação, temos a derivada: 
Os pontos críticos xo são os que anulam a primeira derivada, isto é, y '(xo)=0. Dessa forma, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema: 
y + 2x = 0 
x²+xy+y² =3 
Este sistema fornece os pontos P=(-1,2) e Q=(1,-2). 
Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão (x +2y) y' = -(y+2x) 
Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos: 
y''(x) (x+2y) + y'(x) (1+2y') = -y'(x)-2 
Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos: 
O ponto P=(-1,2) é ponto de máximo, pois 
y''(-1) = - 2/3 < 0 
O ponto Q=(1,-2) é ponto de mínimo, pois 
y''(1) = 2/3 > 0 
Regra geral com derivada implícita 
Seja uma função definida implicitamente por F(x,y)=0. Como nem sempre é possível explicitar y=y(x) tal que 
F(x,y(x))=0 
utilizaremos derivadas parciais de F em relação a x e de F em relação a y, denotadas respectivamente por Fx e Fy, para realizar a derivada implícita da função para obter: 
Fx(x,y(x)) + Fy(x,y(x)) . y'(x) = 0 
Esta última relação pode ser simplificada na forma: 
Fx + Fy . y' = 0 
donde segue que 
Usando a relação Fx+Fy.y'=0, podemos realizar mais uma derivada implícita, para obter:Fxx+Fxy.y'+Fy.y''+Fy.(y')²=0 
Como nos pontos críticos P=(xo,yo), temos que y'(xo)=0, 
então: Fxx(P)+Fy(P).y''(xo)=0 
e assim temos que 
Conclusão: Seja P=(xo,yo) um ponto crítico para y=y(x) que subentende a forma explícita da função F(x,y)=0, isto é, y'(xo)=0. 
Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem o mesmo sinal, P será ponto de máximo para função F(x,y)=0. 
Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem sinais diferentes, P será ponto de mínimo para função F(x,y)=0.

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TL

Há mais de um mês

As equações podem ser escritas de forma explícita, ou seja, a variável dependente está isolada, ou de forma implícita, onde a variável dependente y não está isolada .

Um exemplo de função na forma implícita é a equação da circunferência x^{2}+y^{2}=r^{2} .  

Equações explícitas ou funções na forma explícita, são aquelas onde f(x)=y, ou seja, são funções onde as variáveis x e y estavam isoladas, cada uma em um lado da equação, por exemplo:

y=x^{2}+3x-4 . 

Entretanto, como realizar a derivação para equações implícitas ou na forma implícita, onde não temos a variável y isolada?

x^{2}+y^{2}+xy=3 .

A ideia é aplicar a derivada em relação a x em ambos os lados da equação, da seguinte forma:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{2}+y^{2}+xy\big]=\frac{d}{dx}\big[3\big] .

 Pelas propriedades das derivadas a derivada da soma é igual a soma das derivadas, assim:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{2}\big]+\frac{d}{dx}\big[y^{2}\big]+\frac{d}{dx}\big[xy\big]=\frac{d}{dx}\big[3\big] .

Para facilitar na explicação, resolve-se cada uma das derivadas separadamente e no final retorna-se à equação original substituindo cada termo.

A primeira delas resolve-se aplicando a derivada da potência dada por:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{2}\big]=2x .

A segunda derivada tem-se uma função y que é dependente de x. Deste modo, ao aplicar a regra da cadeia obtém-se:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[y^{2}\big]=\frac{d}{dy}\big[y^{2}]\cdot \frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx} .

A terceira derivada tem-se o produto de duas funções, por isto aplica-se a propriedade da derivada do produto para obter:

\displaystyle\frac{d}{dx}\big[xy\big]=x\frac{d}{dx}\big[y\big]+y\frac{d}{dx}\big[x\big]  .

Em seguida, aplica-se a regra da cadeia ao primeiro termo e a derivada da potência no segundo para ter-se:

\displaystyle x\frac{d}{dx}\big[y\big]+y\frac{d}{dx}\big[x\big]=x\frac{d}{dy}\big[y\big]\cdot \frac{dy}{dx}+y=x \frac{dy}{dx}+y .

Por fim, a derivada do termo que está do outro lado da igualdade, que é a derivada de uma constante 

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[3\big]=0 .

Concluído o cálculo de todas derivadas, deve-se substituir ao problema original  \displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{2}\big]+\frac{d}{dx}\big[y^{2}\big]+\frac{d}{dx}\big[xy\big]=\frac{d}{dx}\big[3\big] . Portanto, tem-se: 

\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}+x\frac{dy}{dx}+y=0 .

Agrupando os termos que contém as derivadas e isolando obtém-se:

\displaystyle (2y+x)\frac{dy}{dx}=-2x-y \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{2y+x}

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes