Derivada implícita com exemplos numéricos
Antes de introduzir uma regra geral que permite obter os extremos de uma função definida por F(x,y)=0 de uma forma implícita, apresentaremos dois exemplos numéricos com funções conhecidas.
Exemplo: Consideremos a curva conhecida como Folium de Descartes, definida de forma implícita por:
F(x,y) = x³ + y³ - 3axy = 0 (a>0)
Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima).
Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de y=y(x) e a dificuldade é obter de forma explícita y=y(x). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função y=y(x) é muito complicada. Existem outras situações que nem mesmo é possível explicitar y=y(x). Para contornar estes problemas, usaremos a derivação da função definida implicitamente pela curva: x³ + y³ - 3axy = 0
Para realizar a derivação implícita, subentendemos que existe y=y(x) de modo que ao substituir y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é: 3 x² + 3 y²(x) y'(x) - 3a [x y'(x) + y(x)] = 0
Simplificando, obtemos (y² - ax) y'(x) = ay - x²
Desta relação, já temos a derivada y'=y'(x):
Os pontos críticos xo são aqueles nos quais a primeira derivada se anula, isto é, y'(xo)=0. Assim, existe uma solução trivial P=(0,0), mas é fácil perceber que este ponto pertence à curva dada. Para obter outros pontos críticos, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações:
ay - x² = 0
x³ + y³ -3axy = 0
Este sistema fornece o ponto crítico Q=(xo,yo), dado por:
xo=a 21/3 e yo=a 24/3
Para evitar as frações, usaremos a expressão:
(y² - ax) y '(x) = ay - x²
Realizando a derivada implícita desta última relação, obtemos: y'' (y²-ax) + y' (2.y.y' -a) = a.y'-2x
Tomando esta relação no ponto x=xo e levando em consideração que y'(xo)=0, a expressão fica bem simples:
y''(xo) (yo²-axo) = -2xo
Substituindo os valores de xo e yo,obtemos:
y''(xo) = -2/a < 0
Logo, xo=a.21/3 é um ponto de máximo e yo=a.41/3 é o valor máximo de y=y(x).
Exemplo: Consideremos a elipse rodada em relação aos eixos normais, definida implicitamente por
F(x,y) = x² + xy + y² - 3 = 0
Nosso objetivo é obter os extremos desta curva no plano cartesiano. Aqui existe também a dificuldade em explicitar y=y(x). A fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara) resolve o problema mas a expressão de y=y(x) fica complicada. Obteremos as duas primeiras derivadas de y=y(x), usando o processo de derivação implícita.
Para realizar a primeira derivada implícita, vamos subentender que existe y=y(x) de modo que substituindo y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é:
2x + x.y' + y + 2y.y' = 0
Simplificando, obtemos
(x +2y) y' = -(y+2x)
Desta relação, temos a derivada:
Os pontos críticos xo são os que anulam a primeira derivada, isto é, y '(xo)=0. Dessa forma, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema:
y + 2x = 0
x²+xy+y² =3
Este sistema fornece os pontos P=(-1,2) e Q=(1,-2).
Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão (x +2y) y' = -(y+2x)
Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos:
y''(x) (x+2y) + y'(x) (1+2y') = -y'(x)-2
Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos:
O ponto P=(-1,2) é ponto de máximo, pois
y''(-1) = - 2/3 < 0
O ponto Q=(1,-2) é ponto de mínimo, pois
y''(1) = 2/3 > 0
Regra geral com derivada implícita
Seja uma função definida implicitamente por F(x,y)=0. Como nem sempre é possível explicitar y=y(x) tal que
F(x,y(x))=0
utilizaremos derivadas parciais de F em relação a x e de F em relação a y, denotadas respectivamente por Fx e Fy, para realizar a derivada implícita da função para obter:
Fx(x,y(x)) + Fy(x,y(x)) . y'(x) = 0
Esta última relação pode ser simplificada na forma:
Fx + Fy . y' = 0
donde segue que
Usando a relação Fx+Fy.y'=0, podemos realizar mais uma derivada implícita, para obter:Fxx+Fxy.y'+Fy.y''+Fy.(y')²=0
Como nos pontos críticos P=(xo,yo), temos que y'(xo)=0,
então: Fxx(P)+Fy(P).y''(xo)=0
e assim temos que
Conclusão: Seja P=(xo,yo) um ponto crítico para y=y(x) que subentende a forma explícita da função F(x,y)=0, isto é, y'(xo)=0.
Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem o mesmo sinal, P será ponto de máximo para função F(x,y)=0.
Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem sinais diferentes, P será ponto de mínimo para função F(x,y)=0.
As equações podem ser escritas de forma explícita, ou seja, a variável dependente y está isolada, ou de forma implícita, onde a variável dependente y não está isolada .
Um exemplo de função na forma implícita é a equação da circunferência .
Equações explícitas ou funções na forma explícita, são aquelas onde f(x)=y, ou seja, são funções onde as variáveis x e y estavam isoladas, cada uma em um lado da equação, por exemplo:
.
Entretanto, como realizar a derivação para equações implícitas ou na forma implícita, onde não temos a variável y isolada?
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A ideia é aplicar a derivada em relação a x em ambos os lados da equação, da seguinte forma:
.
Pelas propriedades das derivadas a derivada da soma é igual a soma das derivadas, assim:
.
Para facilitar na explicação, resolve-se cada uma das derivadas separadamente e no final retorna-se à equação original substituindo cada termo.
A primeira delas resolve-se aplicando a derivada da potência dada por:
.
A segunda derivada tem-se uma função y que é dependente de x. Deste modo, ao aplicar a regra da cadeia obtém-se:
.
A terceira derivada tem-se o produto de duas funções, por isto aplica-se a propriedade da derivada do produto para obter:
.
Em seguida, aplica-se a regra da cadeia ao primeiro termo e a derivada da potência no segundo para ter-se:
.
Por fim, a derivada do termo que está do outro lado da igualdade, que é a derivada de uma constante
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Concluído o cálculo de todas derivadas, deve-se substituir ao problema original . Portanto, tem-se:
.
Agrupando os termos que contém as derivadas e isolando obtém-se:
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