Por favor, transformem esta equação cartesiana em polar.

Neste exercício, uma dada função cartesiana será convertida para coordenadas polares. A função a ser convertida está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow(x^2 + y^2)^2 = 4(x^2 - y^2)\)

As equações que relacionam as coordenadas cartesianas e polares estão apresentadas a seguir:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x^2 + y^2=r^2 \\ x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{matrix} \right.\)

Substituindo as equações anteriores na função cartesiana, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow(r^2)^2 = 4\Big [(r \cos \theta)^2 - (r \sin \theta)^2 \Big ]\)

\(\Longrightarrow r^4 = 4\Big (r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta \Big )\)

\(\Longrightarrow r^4 = 4r^2\Big ( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \Big )\)

\(\Longrightarrow r^2 = 4\Big ( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \Big )\)

Por fim, substituindo a equação trigonométrica \(\cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta\), a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \fbox {$ r^2 = 4 \cos 2 \theta $}\)

Resposta correta: letra c)

Fazendo a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, sabemos que x=r.cos° e y=r.sen°.

Substituido esses valores na equação (x²+y²)² = 4 (x²-y²), obtemos a equação

(r².cos²° + r²sen²°)² = 4 (r²cos²° - r²sen²°)

(r²(cos²° + sen²°))² = 4 r²(cos²° - sen²°)

Pelas identidades trigonométricas, temos que cos²° + sen²°= 1 (*)

Também sabemos que cos²°= cos°.cos° e sen²°= sen°.sen°. Substituindo esses valores em cos²° - sen²°, temos: 

cos²° - sen²° = cos°.cos° - sen°.sen° = cos(°+°) - sen(°+°) = cos(°+°) = cos(2°)  (**)

Substituindo então (*) e (**) na equação (r²(cos²° + sen²°))² = 4 r²(cos²° - sen²°) temos:

(r²)² = 4 r² cos(2°)

r² = 4cos(2°)

Portanto, obtemos a equação polar  c)r² = 4cos2°

Espero ter ajudado!

Obrigado :)