4. Resolva o problema de valor inicial (PVI): {((e^x+y)dx + (2+x+ye^y )dy y(0)=1)

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Dividindo ambos os lados por \(dx\), temos

\[e^x + y(x) + \dfrac{dy(x)}{dx}\big(x+e^{y(x)}y(x)+2\big)=0\]

Sejam \(P(x,y)=e^x+y\) e \(Q(x,y)=x+e^yy+2\). Essa é uma equação exata, pois \(\dfrac{\partial P(x,y)}{\partial y}=1=\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\). Definimos \(f(x,y)\) tal que \(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=P(x,y)\) e \(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=Q(x,y)\).

Então, a solução é dada por \(f(x,y)=C\), tal que \(C\) é uma constante arbitrária.

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Integrando \(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) em relação a \(x\) para encontrar \(f(x,y)\):

\[\begin{aligned} f(x,y) &= \int{\big(e^x+y)dx} \\ &= e^x + yx +g(y) \end{aligned}\]

Tal que \(g(y)\) é uma função arbitrária em \(y\).

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Derivando \(f(x,y)\) em relação a \(y\) para encontrar \(g(y)\):

\[\begin{aligned} \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} &= \dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^x + yx + g(y)\big) \\ &= x + \dfrac{d g(y)}{dy} \end{aligned}\]

Substituindo \(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} = Q(x,y)\):

\[\begin{aligned} x+ \dfrac{dg(y)}{dy} &= x+e^yy+2 \Longleftrightarrow \\ \dfrac{dg(y)}{dy} &= e^yy+2 \Longleftrightarrow \\ g(y) &= \int\big(e^yy +2\big)dy = 2y + e^y(y-1) \end{aligned}\]

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Substituindo \(g(y)\) em \(f(x,y)=C\):

\[C = e^x +2y+yx+ e^y(y-1)\]

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Fazendo \(x=0\) e \(y(0)=1\) para encontrar a constante \(C\):

\[\begin{aligned} C &= e^0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + e^1(1-1) \\ &= 1 + 2 \\ &= 3 \end{aligned}\]

Substituindo \(C=3\):

\[e^x + 2y + yx + e^y(y-1) = 3\]

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Portanto, a solução do PVI é \(\boxed{e^x + 2y + yx + e^y(y-1) = 3}\).