Busque os valores e os vetores do operador linear T: R3 > R3 que são dados por:

\[T\left( {\vec v} \right) = \lambda \vec v\]

Dado que \(T\left( {1,0,0} \right) = \left( {0,0,0} \right)\), \(T\left( {0,1,0} \right) = \left( {0,0,0} \right)\) e \(T\left( {0,0,1} \right) = \left( {5, - 1, 2} \right)\), a matriz associada a T nas bases canônicas de \({\mathbb{R}^3}\) é dada por:

\[\left[ T \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right]\]

Assim:

\(\left[ T \right]\vec v = \lambda \vec v\)

\(\left[ T \right]\vec v - \lambda \vec v = 0\), e os valores e vetores próprios podem ser encontrados fazendo-se:

\[\det \left( {\left[ T \right] - \lambda I} \right) = 0\]

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - \lambda }&0&0 \\ 0&{ - \lambda }&0 \\ 0&0&{1 - \lambda } \end{array}} \right| = \left( {{\lambda ^2}} \right)\left( {1 - \lambda } \right) = 0\]

Assim, os valores próprios são \(\lambda=0\) e \(\lambda=1\).

• Se \(\lambda=0\), os vetores próprios \(\vec v = \left( {{x_1}, {x_2}, {x_3}} \right)\) são tais que:


\[\left[ T \right]\vec v - \lambda \vec v = 0\]



\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right] \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3} = 0} \\ {{\text{2}} {\text{ variáveis}} {\text{ livres}}} \end{array}} \right.\]


Logo, os vetores próprios associados a \(\lambda=0\) são:


\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \end{array}} \right] = {x_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right] + {x_2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}} \right]\]


• Se \(\lambda=1\), tem-se:


\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0 \\ 0&{ - 1}&0 \\ 0&0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right] \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{_1}} = {x_2} = 0} \\ {1 {\text{ variável }} {\text{livre}}} \end{array}} \right.\]


Logo, os vetores próprios associados a \(\lambda=1\) são:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \end{array}} \right] = {x_3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}} \right]\)