Determinar uma base ortonormal do subespaço de W de R³ dado por W = {(x,y,z) E R³ / x - y = 0}, em relação ao produto interno usual de R³.

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Temos o subespaço \(W=\{(x,y,z) \in \R^3\;|\;x-y=0\}\). O produto interno usual em \(\R^3\) é \(=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\), dados \(u=(x_1,y_1,z_1)\) e \(v=(x_2,y_2,z_2)\).

Uma base ortonormal é um conjunto de vetores ortogonais (ou seja, o produto interno entre eles é nulo) e normais (possuem norma unitária) que descrevem todos os vetores do espaço vetorial como uma combinação linear, sendo linearmente independentes.

Um vetor \(w\) pertencente ao subespaço \(W\) deve ter \(x-y=0\Rightarrow x=y\), logo, ele é da forma \(w=(x,x,z)\), podendo ser escrito como \(w=x(1,1,0)+z(0,0,1)\), com \(x,z\in\R\). Portanto o conjunto \(\{(1,1,0),(0,0,1)\}\) é uma base de \(W\), pois são linearmente independentes. Além disso, temos que \(<(1,1,0),(0,0,1)>=0\), logo essa base é ortogonal. Porém, \(||(1,1,0)||=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt2\) e \(||(0,0,1)||=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1\). Como \((1,1,0)\) não possui normal unitária, devemos normaliza-lo dividindo-o por sua norma, resultando em \((\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2},0)\).

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Portanto, \(\boxed{\{(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2},0),(0,0,1\}}\) é uma base ortonormal de \(W\).