AFA 2016 Considere os polinômios Q(x)=x2−2x+1 e P(x)=x3−3x2−ax+b, sendo a e b números reais tais que a2−b2=−8.

X²-2x+1=0
(x-1)²=0
x=1

1 é raiz de Q(x) e como Q(x) e P(x) tem um ponto em comum que pertence ao eixo das abscissas, então:

P(1)=1³-3(1)²-a+b=0
1-3-a+b=0
-2-a+b=0
-a+b=2
-(a-b)=2

Do enunciado, temos que a²-b²=-8 que na forma fatorada é:

(a+b)(a-b)=-8
a-b=-8/(a+b)

-(-8/a+b)=2
a+b=4

(a+b)(a-b)=-8
4(a-b)=-8
a-b=-2

sistema por soma:
a+b=4
a-b=-2

2a=2
a=1

1+b=4
b=3

P(x)=x³-3x²-x+3

Agora descobre as raízes de P(x), já sabemos que x-1 é raiz, então:

(x-1)(x²-2x-3)=0

x1=1
x2=-1
x3=3

 letra b) pois -1 

Tem um ponto em comum que pertence ao eixo das abscissas, ou seja, y = 0.

Daí, podemos substituir no primeiro polinômio 

x² - 2x + 1 = 0 

(x-1)² = 0 

x- 1 = 0 

x = 1 

Como é em comum, vamos usá-lo no segundo polinômio:

(1)³ - 3(1)² - a(1) + b = 0 

1 - 3 - a + b = 0 

-2 - a + b = 0 

- a + b = 2

a - b = - 2 

Temos que a² - b² = -8 

Mas , a² - b² = (a+b)(a-b)

Daí, 

(a+b)(a-b) = - 8 

(a+b)(-2) = - 8

a+b = 4

Daí, podemos montar o sistema:

a- b = -2 

a + b = 4 

2a = 2 

a = 1 

a + b = 4

1 + b = 4 

b = 3 

Raizes de P(x)

P(x) = x³ - 3x² - x + 3

P(x) = x(x²-1)-3(x²-1)

P(x) = (x²-1)(x-3)

P(x) = (x+1)(x-1)(x-3)

Portanto, raizes

x = - 1 

x = 1 

x = 3 

Logo, a alternativa incorreta é SÃO TODOS NUMEROS NATURAIS já que -1 não é natural.