Encontre y'(x) sabendo que y = y(x) e y^X = x^y. Resolução .?

gfg

Derivando ambos os lados, temos:

\[\eqalign{ \dfrac{d}{{dx}}\left( {{y^x}} \right) &= \dfrac{d}{{dx}}\left( {{x^y}} \right)\cr{y^x} \cdot \ln y + {y^x} \cdot \dfrac{x}{y} \cdot y' &= {x^y} \cdot \ln x \cdot y' + {x^y} \cdot \dfrac{y}{x} }\]

Isolando \(y'\left( x \right)\), temos:

\[\eqalign{ {y^x} \cdot \ln y + {y^x} \cdot \dfrac{x}{y} \cdot y' &= {x^y} \cdot \ln x \cdot y' + {x^y} \cdot \dfrac{y}{x}\cr{y^x} \cdot \dfrac{x}{y} \cdot y' - {x^y} \cdot \ln x \cdot y' &= {x^y} \cdot \dfrac{y}{x} - {y^x} \cdot \ln y\cry'\left( {x \cdot {y^{x - 1}} - {x^y} \cdot \ln x} \right) &= y \cdot {x^{y - 1}} - {y^x} \cdot \ln y\cry' &= \dfrac{{y \cdot {x^{y - 1}} - {y^x} \cdot \ln y}}{{x \cdot {y^{x - 1}} - {x^y} \cdot \ln x}} }\]

Portanto, \(\boxed{y'\left( x \right) = \dfrac{{y \cdot {x^{y - 1}} - {y^x} \cdot \ln y}}{{x \cdot {y^{x - 1}} - {x^y} \cdot \ln x}}}\).