Um casal pretende ter 4 filhos. Deseja se calcular as seguintes probabilidades?

Imagem correta

Probabilidade

Probabilidade é o cálculo da possibilidade de um evento ocorrer ou não.

Espaço amostral

Definimos o espaço amostral por S, sendo o número de elementos de S denotado por n(S).

Evento

Evento é um subconjunto de S, e denotamos por letras maiúsculas do alfabeto.

Para calcularmos a probabilidade de um evento A ocorrer usamos:

\[P(A) = {{n(A)} \over {n(S)}}\]

onde n(A) é o número de elementos do evento A ocorrer e n(S) é o número de elementos do espaço amostral.

Combinação de eventos

É a junção da probabilidade de um evento A ou um evento B ocorrer. Para este cálculo usamos:

\[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\]

Dizemos que dois eventos são mutualmente exclusivos se, e somente se, não existir nenhum elemento em comum entre esses dois conjuntos. Portanto:

1561873526814

• Probabilidade condicional

Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já ocorreu.

Para calcular a probabilidade do evento B ocorrer, dado que o evento A já ocorreu temos:

\[P\left( {\left. B \right|A} \right) = {{P\left( {A \cap B} \right)} \over {P\left( A \right)}}\]

Dois eventos são independentes se o fato de um evento ocorrer não interfere na ocorrência do outro evento. Logo temos que:

1561874519948

Para resolver o exercício temos que um casal pretende ter quatro filhos, então sabemos que n(S) = 16

a) A probabilidade de todos os filhos serem meninas é:

• a possibilidade de sexo é menina ou menino, logo a probabilidade de ser menina é de \({1 \over 2}\), então a probabilidade dos 4 filhos serem meninas é de:

\[P\left( A \right) = {1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2} = {1 \over {16}}\]

\[P\left( A \right) = {{n\left( A \right)} \over {n\left( S \right)}} = {1 \over {16}}\]

b) a probabilidade de ser exatamente 3 meninas é:

• (menina, menina, menina, menino)
• (menina, menina, menino, menina)
• (menina, menino, menina, menina)
• (menino, menina, menina, menina)

Então temos que:

\[P\left( B \right) = {{n\left( B \right)} \over {n\left( S \right)}} = {4 \over {16}} = {1 \over 4}\]

c) a probabilidade de ser pelo menos uma menina é:

• a probabilidade de ser pelo menos uma menina é a probabilidade complementar a de não ser nenhuma menina, ou seja, de ser ter todos meninos. Logo, a probabilidade de serem todos meninos é a mesma probabilidade de serem todas meninas, então:


\[P\left( C \right) = 1 - {1 \over {16}} = {{16} \over {16}} - {1 \over {16}} = {{15} \over {16}}\]


d) a probabilidade de mais de uma ser menina é:

• a probabilidade de mais de uma ser menina é a mesma probabilidade de pelo menos duas serem meninas, logo temos:
• 1º) duas meninas
• menina, menina, menino, menino
• menina, menino, menino, menina
• menino, menino, menina, menina
• menina, menino, menina, menino
• menino, menina, menino, menina
• menino, menina, menina, menino

Logo n(D)=6, então:


\[P\left( D \right) = {{n\left( D \right)} \over {n\left( S \right)}} = {6 \over {16}}\]


• 2º) três meninas
• como calculado em b)


\[P\left( E \right) = {{n\left( B \right)} \over {n\left( S \right)}} = {4 \over {16}}\]


• 3º) quatro meninas
• como calculado em a)

\[P\left( F \right) = {1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2} = {1 \over {16}}\]

• Então para calcularmos o total, temos que somar as 3 possibilidades, então:

\[\eqalign{ & P\left( G \right) = P\left( D \right) + P\left( E \right) + P\left( F \right) \cr & P(G){6 \over {16}} + {4 \over {16}} + {1 \over {16}} = {{11} \over {16}} }\]