#matematica, #trigonometria. #Concurso militar.
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo tratam-se da relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo. Dado o triângulo abaixo, tem-se que:
Triângulo retângulo. Fonte: Toda Matéria. Acesso 13 jun. 2019
\[\eqalign{ & \operatorname{sen} \alpha = \dfrac{{{\text{cateto oposto}}}}{{{\text{hipotensa}}}} \cr & \cr & \text{cos } \alpha = \dfrac{{{\text{cateto adjacente}}}}{{{\text{hipotensa}}}} \cr & \cr & \text{tg } \alpha = \dfrac{{{\text{cateto oposto}}}}{{{\text{cateto adjacente}}}} }\]
Por sua vez, as relações trigonométricas básicas estão abaixo:
Principais relações trigonométricas. Fonte: Toda Matéria. Acesso 13 jun. 2019
O Seno de qualquer ângulo é o valor que encontramos ao dividir o seu cateto oposto pela hipotenusa. Veja a fórmula do Seno:
Uma outra definição para Seno é:
“Projeção da medida do ângulo no eixo das coordenadas (eixo y).”
Vamos relembrar que no Ciclo trigonométrico o raio é sempre unitário, ou seja, vale 1. Por isso, o seno sempre será um número entre 0 e 1.
No ciclo trigonométrico, a projeção do valor do seno no eixo y é igual ao tamanho do cateto oposto (observe a imagem).
Com base nisso, os matemáticos perceberam que estas medidas só eram iguais porque a hipotenusa vale 1 (lembre-se que o raio é unitário no ciclo).
Portanto, se tivéssemos um triângulo fora do ciclo trigonométrico, não poderíamos dizer que o valor do seno é igual ao do cateto oposto.
Diante disso, foi preciso estabelecer uma fórmula genérica que se aplique tanto aos triângulos do ciclo quanto aos de fora.
Daí surgiu a fórmula. Ao estabelecer que o valor do seno é o cateto oposto dividido pela hipotenusa, o resultado se adequa a qualquer medida que um triângulo retângulo possuir. Afinal, a razão entre 8 e 4 é a mesma que a razão entre 64 e 32.
IMPORTANTE
Observe que o resultado de ambos os senos são iguais.
Isso ocorreu pois os triângulos são semelhantes: apesar de terem lados diferentes, como essa diferença é a mesma (constante), seus ângulos são iguais.
Daí, tiramos mais uma conclusão: o valor do seno é essencialmente determinado pelo valor do ângulo, e não do lado.
Portanto, os lados podem ter qualquer medida mas um mesmo ângulo sempre terá um mesmo seno.
O Cosseno de qualquer ângulo é o valor que encontramos ao dividir o seu cateto adjacente pela hipotenusa. Veja a fórmula do Cosseno:
Uma outra definição para Cosseno é:
“Projeção da medida do ângulo no eixo das abscissas (eixo x).”
Vamos relembrar que no Ciclo trigonométrico o raio é sempre unitário, ou seja, vale 1. Por isso, o cosseno sempre será um número entre 0 e 1.
No ciclo trigonométrico, a projeção do valor do cosseno no eixo x é igual ao tamanho do cateto adjacente (observe a imagem).
Com base nisso, os matemáticos perceberam que estas medidas só eram iguais porque a hipotenusa vale 1 (lembre-se que o raio é unitário no ciclo).
Portanto, se tivéssemos um triângulo fora do ciclo trigonométrico, não poderíamos dizer que o valor do cosseno é igual ao do cateto adjacente.
Diante disso, foi preciso estabelecer uma fórmula genérica que se aplique tanto aos triângulos do ciclo quanto aos de fora.
Daí surgiu a fórmula. Ao estabelecer que o valor do cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa, o resultado se adequa a qualquer medida que um triângulo retângulo possuir. Afinal, a razão entre 4 e 2 é a mesma que a razão entre 16 e 8.
IMPORTANTE
Observe que o resultado de ambos os cossenos são iguais.
Isso ocorreu pois os triângulos são semelhantes: apesar de terem lados diferentes, como essa diferença é a mesma( constante), seus ângulos são iguais.
Daí, tiramos mais uma conclusão: o valor do cosseno é essencialmente determinado pelo valor do ângulo, e não do lado.
Portanto, os lados podem ter qualquer medida mas um mesmo ângulo sempre terá um mesmo cosseno.
A Tangente de qualquer ângulo é o valor que encontramos ao dividir o seu cateto oposto pelo cateto adjacente. Veja a fórmula da Tangente:
Uma outra definição para Tangente é:
“Projeção da medida do ângulo no eixo tangente ao ciclo trigonométrico”
A tangente não tem um limite mínimo ou máximo de valor, veja no desenho para entender melhor:
Com isso, os matemáticos observaram que para encontrar esse valor que está além do ciclo, era preciso dividir o valor do seno pelo cosseno, pois somente eles possuíam a hipotenusa em comum; e a tangente se dá justamente pelo prolongamento da hipotenusa.
Daí surgiu a fórmula: na hora de fazer os cálculos, obtemos:
IMPORTANTE
Daí, tiramos mais uma conclusão: o valor da tangente é essencialmente determinado pelo valor do ângulo, e não do lado. Pois deriva de seno e cosseno e estes também o são.
Pra decorar as fórmulas com facilidade:
É fácil memorizar coisas bestas! rsrs
Agora que já sabemos o que é Seno, Cosseno e Tangente; podemos entender algumas propriedades.
O valor do Seno, Cosseno e Tangente são determinados pelos ângulos. Logo, em triângulos semelhantes, os valores dessas razões trigonométricas serão iguais porque os ângulos são iguais.
Já explicamos o porquê disso anteriormente.
Na matemática, definiu-se que existem 3 ângulos notáveis (30°,45° e 60°), ou seja, ângulos recorrentes e fáceis de se identificar.
Eles são os mais cobrados nas provas e devemos saber os valores de seus Senos,Cossenos e Tangentes de cór.
Para isso, há uma tabelinha muito famosa que todo estudante deve saber:
Os demais ângulos não são obrigatórios sabermos. Se o professor cobrar, deverá dar o valor ou a tabela. Se ele der a tabela que contém os valores decimais dos ângulos notáveis, use os valores da tabela. Veja:
Ou ainda, ele pode dar o seno e o cosseno de um ângulo não-notável e pedir os valores do seno e cosseno de seu ângulo complementar. Neste caso, você terá de lembrar da propriedade que veremos a seguir:
Se você é um aluno atento, deve ter notado que o seno do 30° é igual ao cosseno do 60° e que o cosseno de 30° é igual ao seno do 60°
Aqui temos mais uma propriedade: quando se trata de ângulos complementares ( que somados formam 90°), o seno de um é igual ao cosseno de outro e vice versa.
Quanto à tangente, a relação é o inverso. Veja:
Esta relação é quase um macete, pois serve quando conhecemos o valor do seno de um ângulo e queremos saber qual é o cosseno deste ângulo, mas nenhuma outra informação foi dada.
Neste caso, não seria possível aplicar as fórmulas clássicas, só poderíamos usar essa relação:
Essa fórmula se originou por meio do uso de teorema de pitágoras. Mas sua demonstração não é essencial para compreendermos as questões. Vamos aos exercícios!
A trigonometria é muito importante não só para resolver as questões das provas mas, principalmente, para o desenvolvimento das ciências exatas, como física e engenharia.
Foi por meio desses cálculos que grande parte das nossas construções estão de pé.
Agora que você já sabe da importância prática dessa área, vamos treinar os exercícios para acabar com qualquer dúvida:
1)Encontre os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo do triângulo abaixo.
Primeiro, devemos substituir a medida de cada lado do triângulo nas fórmulas.
Observando a imagem, identificamos que o cateto oposto mede 5 cm, o cateto adjacente mede 12 cm e a hipotenusa é 13 cm.
Logo:
2)Determine o valor de x :
Primeiro, observe quais elementos você já tem e em qual fórmula dá para encaixar de modo que só reste uma incógnita. Esta você consegue calcular manipulando a equação.
Temos a hipotenusa (10 cm) e queremos descobrir x – que é o cateto oposto ao ângulo de 45º. Assim, aplicaremos a fórmula do seno.
Na tabela trigonométrica, o valor do seno de 45.º é igual a 0,7071. Assim:
Logo, o lado x mede 7,071 cm."Seno
Antes de definir uma fórmula para o seno de um ângulo, vamos entender a ideia de seno. Imagine uma rampa, nela podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, certo? Essa razão chamaremos de seno do ângulo α.
Assim,
sen α = altura
percurso
Cosseno
De maneira análoga à ideia do seno, temos o sentido do cosseno, entretanto, em uma rampa, o cosseno é a razão entre o afastamento em relação ao solo e o percurso na rampa.
Assim:
cos α = afastamento
percurso
Tangente
Também de modo semelhante às ideias de seno e cosseno, a tangente é a razão entre a altura e o afastamento de uma rampa.
Assim:
tg α = altura
afastamento
A tangente fornece-nos o índice de subida.
Leia também: Trigonometria em um triângulo qualquer
Relação entre seno, cosseno e tangente
De modo geral, podemos definir então seno, cosseno e tangente em um triangulo retângulo qualquer utilizando as ideias anteriores. Veja a seguir:
Tomando primeiramente o ângulo α como referencial, temos:
sen α = Cateto oposto = c
Hipotenusa a
cos α = Cateto adjacente = b
Hipotenusa a
tg α = Cateto oposto = c
Cateto adjacente b
Tomando agora o ângulo β como referencial, temos:
sen β = Cateto oposto = b
Hipotenusa a
cos β = Cateto adjacente = c
Hipotenusa a
tg β = Cateto oposto = b
Cateto adjacente c
Tabelas trigonométricas
Existem três valores de ângulos que devemos saber. São eles:
Os demais valores são dados nos enunciados dos exercícios ou podem ser conferidos na tabela seguinte, mas não se preocupe, não é necessário tê-los memorizados (exceto os da tabela anterior).
Ângulo (°)
seno
cosseno
tangente
Ângulo (°)
seno
cosseno
tangente
1
0,017452
0,999848
0,017455
46
0,71934
0,694658
1,03553
2
0,034899
0,999391
0,034921
47
0,731354
0,681998
1,072369
3
0,052336
0,99863
0,052408
48
0,743145
0,669131
1,110613
4
0,069756
0,997564
0,069927
49
0,75471
0,656059
1,150368
5
0,087156
0,996195
0,087489
50
0,766044
0,642788
1,191754
6
0,104528
0,994522
0,105104
51
0,777146
0,62932
1,234897
7
0,121869
0,992546
0,122785
52
0,788011
0,615661
1,279942
8
0,139173
0,990268
0,140541
53
0,798636
0,601815
1,327045
9
0,156434
0,987688
0,158384
54
0,809017
0,587785
1,376382
10
0,173648
0,984808
0,176327
55
0,819152
0,573576
1,428148
11
0,190809
0,981627
0,19438
56
0,829038
0,559193
1,482561
12
0,207912
0,978148
0,212557
57
0,838671
0,544639
1,539865
13
0,224951
0,97437
0,230868
58
0,848048
0,529919
1,600335
14
0,241922
0,970296
0,249328
59
0,857167
0,515038
1,664279
15
0,258819
0,965926
0,267949
60
0,866025
0,5
1,732051
16
0,275637
0,961262
0,286745
61
0,87462
0,48481
1,804048
17
0,292372
0,956305
0,305731
62
0,882948
0,469472
1,880726
18
0,309017
0,951057
0,32492
63
0,891007
0,45399
1,962611
19
0,325568
0,945519
0,344328
64
0,898794
0,438371
2,050304
20
0,34202
0,939693
0,36397
65
0,906308
0,422618
2,144507
21
0,358368
0,93358
0,383864
66
0,913545
0,406737
2,246037
22
0,374607
0,927184
0,404026
67
0,920505
0,390731
2,355852
23
0,390731
0,920505
0,424475
68
0,927184
0,374607
2,475087
24
0,406737
0,913545
0,445229
69
0,93358
0,358368
2,605089
25
0,422618
0,906308
0,466308
70
0,939693
0,34202
2,747477
26
0,438371
0,898794
0,487733
71
0,945519
0,325568
2,904211
27
0,45399
0,891007
0,509525
72
0,951057
0,309017
3,077684
28
0,469472
0,882948
0,531709
73
0,956305
0,292372
3,270853
29
0,48481
0,87462
0,554309
74
0,961262
0,275637
3,487414
30
0,5
0,866025
0,57735
75
0,965926
0,258819
3,732051
31
0,515038
0,857167
0,600861
76
0,970296
0,241922
4,010781
32
0,529919
0,848048
0,624869
77
0,97437
0,224951
4,331476
33
0,544639
0,838671
0,649408
78
0,978148
0,207912
4,70463
34
0,559193
0,829038
0,674509
79
0,981627
0,190809
5,144554
35
0,573576
0,819152
0,700208
80
0,984808
0,173648
5,671282
36
0,587785
0,809017
0,726543
81
0,987688
0,156434
6,313752
37
0,601815
0,798636
0,753554
82
0,990268
0,139173
7,11537
38
0,615661
0,788011
0,781286
83
0,992546
0,121869
8,144346
39
0,62932
0,777146
0,809784
84
0,994522
0,104528
9,514364
40
0,642788
0,766044
0,8391
85
0,996195
0,087156
11,43005
41
0,656059
0,75471
0,869287
86
0,997564
0,069756
14,30067
42
0,669131
0,743145
0,900404
87
0,99863
0,052336
19,08114
43
0,681998
0,731354
0,932515
88
0,999391
0,034899
28,63625
44
0,694658
0,71934
0,965689
89
0,999848
0,017452
57,28996
45
0,707107
0,707107
1
90
1
Saiba também: Secante, cossecante e cotangente
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Determine o valor de x e y no triângulo a seguir.
Solução:
Veja no triângulo que o ângulo dado foi de 30°. Observando ainda o triângulo, temos que o lado que mede x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, e o lado que mede y é o cateto adjacente ao ângulo de 30°. Assim, devemos buscar uma razão trigonométrica que relacione o que procuramos com que é dado (hipotenusa). Logo:
sen 30° = Cateto oposto
Hipotenusa
cos 30° = Cateto adjacente
Hipotenusa
Determinado o valor de x:
sen 30° = Cateto oposto
Hipotenusa
sen 30° = x
2
Olhando na tabela, temos que:
sen 30° = 1
2
Substituindo na equação, teremos:
1 = x
2 2
x = 1
De modo análogo, consideraremos
Assim:
Cos 30° = √3
2
cos 30° = Cateto adjacente
Hipotenusa
cos 30° = Y
2
√3 = Y
2 2
y = √3
Questão 2 – (PUC-SP) Qual é o valor de x na figura seguinte?
Solução:
Visualizando o triângulo maior, observe que y é oposto ao ângulo de 30° e que 40 é a hipotenusa, ou seja, podemos usar a razão trigonométrica seno.
sen 30° = Y
40
1 = Y
2 40
2 y = 40
y = 20
Olhando agora para o triângulo menor, veja que temos o valor do cateto oposto e buscamos o valor de x, que é o cateto adjacente. A relação trigonométrica que envolve esses dois catetos é a tangente. Assim:
tg 60° = 20
x
√3= 20
x
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3 "
Veja mais sobre "Seno, cosseno e tangente" em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
Rosimar Gouveia Professora de Matemática e Física
Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados.
O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.
Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.
De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Veja também: Lei dos Senos
É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Veja também: Lei dos Cossenos
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.
Veja também: Trigonometria no Triângulo Retângulo
Na tabela trigonométrica consta o valor de cada razão trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º.
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos e por isso, eles são chamados de ângulos notáveis.
Relações Trigonométricas30°45°60°Seno1/2√2/2√3/2Cosseno√3/2√2/21/2Tangente√3/31√3Veja também: Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Para compreender melhor a aplicação das fórmulas, confira abaixo dois exemplos:
1) Encontre os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo do triângulo abaixo.
Para encontrar os valores do seno, cosseno e tangente, devemos substituir a medida de cada lado do triângulo nas respectivas fórmulas.
Observando a imagem, identificamos que o cateto oposto mede 5 cm, o cateto adjacente mede 12 cm e a medida da hipotenusa é igual a 13 cm. Assim, temos:
Veja também: Relações Trigonométricas
2) Determine o valor de x na figura abaixo.
Observe que temos a medida da hipotenusa (10 cm) e queremos descobrir a medida de x, que é o cateto oposto ao ângulo de 45º. Desta forma, aplicaremos a fórmula do seno.
De acordo com a tabela trigonométrica, o valor do seno de 45.º é aproximadamente igual a 0,7071. Assim:
Portanto, o lado x mede 7,071 cm.
Veja também: Razões Trigonométricas
1. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?
Ver Resposta
2.(Cefet-MG) O triângulo ABC é retângulo em e os segmentos são perpendiculares.
Assim, a medida do segmento vale
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.
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