O que é Seno

O Seno de qualquer ângulo é o valor que encontramos ao dividir o seu cateto oposto pela hipotenusa. Veja a fórmula do Seno:

• 
• De onde veio essa fórmula? O que isso significa no ciclo trigonométrico?

Uma outra definição para Seno é:

“Projeção da medida do ângulo no eixo das coordenadas (eixo y).”

Vamos relembrar que no Ciclo trigonométrico o raio é sempre unitário, ou seja, vale 1. Por isso, o seno sempre será um número entre 0 e 1.

No ciclo trigonométrico, a projeção do valor do seno no eixo y é igual ao tamanho do cateto oposto (observe a imagem). 

Com base nisso, os matemáticos perceberam que estas medidas só eram iguais porque a hipotenusa vale 1 (lembre-se que o raio é unitário no ciclo).

Portanto, se tivéssemos um triângulo fora do ciclo trigonométrico, não poderíamos dizer que o valor do seno é igual ao do cateto oposto. 

Diante disso, foi preciso estabelecer uma fórmula genérica que se aplique tanto aos triângulos do ciclo quanto aos de fora.

Daí surgiu a fórmula. Ao estabelecer que o valor do seno é o cateto oposto dividido pela hipotenusa, o resultado se adequa a qualquer medida que um triângulo retângulo possuir. Afinal, a razão entre 8 e 4 é a mesma que a razão entre 64 e 32.

IMPORTANTE

Observe que o resultado de ambos os senos são iguais. 

Isso ocorreu pois os triângulos são semelhantes: apesar de terem lados diferentes, como essa diferença é a mesma (constante), seus ângulos são iguais.

Daí, tiramos mais uma conclusão: o valor do seno é essencialmente determinado pelo valor do ângulo, e não do lado. 

Portanto, os lados podem ter qualquer medida mas um mesmo ângulo sempre terá um mesmo seno.

O que é Cosseno

O Cosseno de qualquer ângulo é o valor que encontramos ao dividir o seu cateto adjacente pela hipotenusa. Veja a fórmula do Cosseno:

• 
• De onde veio essa fórmula? O que isso significa no ciclo trigonométrico?

Uma outra definição para Cosseno é:

“Projeção da medida do ângulo no eixo das abscissas (eixo x).”

Vamos relembrar que no Ciclo trigonométrico o raio é sempre unitário, ou seja, vale 1. Por isso, o cosseno sempre será um número entre 0 e 1.

No ciclo trigonométrico, a projeção do valor do cosseno no eixo x é igual ao tamanho do cateto adjacente (observe a imagem). 

Com base nisso, os matemáticos perceberam que estas medidas só eram iguais porque a hipotenusa vale 1 (lembre-se que o raio é unitário no ciclo).

Portanto, se tivéssemos um triângulo fora do ciclo trigonométrico, não poderíamos dizer que o valor do cosseno é igual ao do cateto adjacente. 

Diante disso, foi preciso estabelecer uma fórmula genérica que se aplique tanto aos triângulos do ciclo quanto aos de fora.

Daí surgiu a fórmula. Ao estabelecer que o valor do cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa, o resultado se adequa a qualquer medida que um triângulo retângulo possuir. Afinal, a razão entre 4 e 2 é a mesma que a razão entre 16 e 8.

IMPORTANTE

Observe que o resultado de ambos os cossenos são iguais. 

Isso ocorreu pois os triângulos são semelhantes: apesar de terem lados diferentes, como essa diferença é a mesma( constante), seus ângulos são iguais.

Daí, tiramos mais uma conclusão: o valor do cosseno é essencialmente determinado pelo valor do ângulo, e não do lado. 

Portanto, os lados podem ter qualquer medida mas um mesmo ângulo sempre terá um mesmo cosseno.

O que é Tangente

A Tangente de qualquer ângulo é o valor que encontramos ao dividir o seu cateto oposto pelo cateto adjacente. Veja a fórmula da Tangente:

• 
• De onde veio essa fórmula? O que isso significa no ciclo trigonométrico?

Uma outra definição para Tangente é:

“Projeção da medida do ângulo no eixo tangente ao ciclo trigonométrico”

A tangente não tem um limite mínimo ou máximo de valor, veja no desenho para entender melhor:

Com isso, os matemáticos observaram que para encontrar esse valor que está além do ciclo, era preciso dividir o valor do seno pelo cosseno, pois somente eles possuíam a hipotenusa em comum; e a tangente se dá justamente pelo prolongamento da hipotenusa. 

Daí surgiu a fórmula: na hora de fazer os cálculos, obtemos:

IMPORTANTE

Daí, tiramos mais uma conclusão: o valor da tangente é essencialmente determinado pelo valor do ângulo, e não do lado. Pois deriva de seno e cosseno e estes também o são.

Macete

Pra decorar as fórmulas com facilidade:

1. Andou de COStas? CA Hi (COSseno = Cateto Adjacente dividido pela Hipotenusa)
2. Está SENo roubado? COrHI (SENo = Cateto Oposto dividido pela Hipotenusa)
3. Tá Gostoso? CO CA (Tangente = Cateto Oposto dividido pelo Cateto Adjacente)

É fácil memorizar coisas bestas! rsrs

Propriedades e observações importantes

Agora que já sabemos o que é Seno, Cosseno e Tangente; podemos entender algumas propriedades.

• Saiba como aprender matemática sozinho!

Triângulos semelhantes

O valor do Seno, Cosseno e Tangente são determinados pelos ângulos. Logo, em triângulos semelhantes, os valores dessas razões trigonométricas serão iguais porque os ângulos são iguais. 

Já explicamos o porquê disso anteriormente.

Ângulos Notáveis

Na matemática, definiu-se que existem 3 ângulos notáveis (30°,45° e 60°), ou seja, ângulos recorrentes e fáceis de se identificar. 

Eles são os mais cobrados nas provas e devemos saber os valores de seus Senos,Cossenos e Tangentes de cór.

Para isso, há uma tabelinha muito famosa que todo estudante deve saber:

• 
• Você pode encontrar diversas músicas para te ajudar a decorar !
• 

Os demais ângulos não são obrigatórios sabermos. Se o professor cobrar, deverá dar o valor ou a tabela. Se ele der a tabela que contém os valores decimais dos ângulos notáveis, use os valores da tabela. Veja:

Ou ainda, ele pode dar o seno e o cosseno de um ângulo não-notável e pedir os valores do seno e cosseno de seu ângulo complementar. Neste caso, você terá de lembrar da propriedade que veremos a seguir:

Ângulos Complementares

Se você é um aluno atento, deve ter notado que o seno do 30° é igual ao cosseno do 60° e que o cosseno de 30° é igual ao seno do 60°

Aqui temos mais uma propriedade: quando se trata de ângulos complementares ( que somados formam 90°), o seno de um é igual ao cosseno de outro e vice versa. 

Quanto à tangente, a relação é o inverso. Veja:

• 
• O mesmo serve para quaisquer ângulos complementares (50° e 40°, 45° e 45°, etc)

Relação trigonométrica fundamental

Esta relação é quase um macete, pois serve quando conhecemos o valor do seno de um ângulo e queremos saber qual é o cosseno deste ângulo, mas nenhuma outra informação foi dada. 

Neste caso, não seria possível aplicar as fórmulas clássicas, só poderíamos usar essa relação:

Essa fórmula se originou por meio do uso de teorema de pitágoras. Mas sua demonstração não é essencial para compreendermos as questões. Vamos aos exercícios!

Exemplos numéricos e aplicação

A trigonometria é muito importante não só para resolver as questões das provas mas, principalmente, para o desenvolvimento das ciências exatas, como física e engenharia.

Foi por meio desses cálculos que grande parte das nossas construções estão de pé.

Agora que você já sabe da importância prática dessa área, vamos treinar os exercícios para acabar com qualquer dúvida:

• Se quiser, pode já ir treinando sozinho os outros exercícios de trigonometria!

1)Encontre os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo do triângulo abaixo.

Primeiro, devemos substituir a medida de cada lado do triângulo nas fórmulas.

Observando a imagem, identificamos que o cateto oposto mede 5 cm, o cateto adjacente mede 12 cm e a hipotenusa é 13 cm. 

Logo:

2)Determine o valor de x :

Primeiro, observe quais elementos você já tem e em qual fórmula dá para encaixar de modo que só reste uma incógnita. Esta você consegue calcular manipulando a equação.

Temos a hipotenusa (10 cm) e queremos descobrir x – que é o cateto oposto ao ângulo de 45º. Assim, aplicaremos a fórmula do seno.

Na tabela trigonométrica, o valor do seno de 45.º é igual a 0,7071. Assim:

Logo, o lado x mede 7,071 cm."Seno

Antes de definir uma fórmula para o seno de um ângulo, vamos entender a ideia de seno. Imagine uma rampa, nela podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, certo? Essa razão chamaremos de seno do ângulo α.

Assim,

sen α =  altura 

       percurso 

Cosseno

De maneira análoga à ideia do seno, temos o sentido do cosseno, entretanto, em uma rampa, o cosseno é a razão entre o afastamento em relação ao solo e o percurso na rampa.

Assim:

cos α = afastamento

       percurso

Tangente

Também de modo semelhante às ideias de seno e cosseno, a tangente é a razão entre a altura e o afastamento de uma rampa. 

Assim:

tg α = altura

    afastamento

A tangente fornece-nos o índice de subida.

Leia também: Trigonometria em um triângulo qualquer

Relação entre seno, cosseno e tangente

De modo geral, podemos definir então seno, cosseno e tangente em um triangulo retângulo qualquer utilizando as ideias anteriores. Veja a seguir:

Tomando primeiramente o ângulo α como referencial, temos:

sen α =  Cateto oposto = c

         Hipotenusa     a

cos α =  Cateto adjacente = b

           Hipotenusa     a

tg α =  Cateto oposto    =   c

      Cateto adjacente      b

Tomando agora o ângulo β como referencial, temos:

sen β =  Cateto oposto = b

        Hipotenusa     a

cos β =  Cateto adjacente = c

           Hipotenusa     a

tg β =  Cateto oposto    = b

      Cateto adjacente   c

Tabelas trigonométricas

Existem três valores de ângulos que devemos saber. São eles:

Os demais valores são dados nos enunciados dos exercícios ou podem ser conferidos na tabela seguinte, mas não se preocupe, não é necessário tê-los memorizados (exceto os da tabela anterior).

Ângulo (°)

seno

cosseno

tangente

Ângulo (°)

seno

cosseno

tangente

1

0,017452

0,999848

0,017455

46

0,71934

0,694658

1,03553

2

0,034899

0,999391

0,034921

47

0,731354

0,681998

1,072369

3

0,052336

0,99863

0,052408

48

0,743145

0,669131

1,110613

4

0,069756

0,997564

0,069927

49

0,75471

0,656059

1,150368

5

0,087156

0,996195

0,087489

50

0,766044

0,642788

1,191754

6

0,104528

0,994522

0,105104

51

0,777146

0,62932

1,234897

7

0,121869

0,992546

0,122785

52

0,788011

0,615661

1,279942

8

0,139173

0,990268

0,140541

53

0,798636

0,601815

1,327045

9

0,156434

0,987688

0,158384

54

0,809017

0,587785

1,376382

10

0,173648

0,984808

0,176327

55

0,819152

0,573576

1,428148

11

0,190809

0,981627

0,19438

56

0,829038

0,559193

1,482561

12

0,207912

0,978148

0,212557

57

0,838671

0,544639

1,539865

13

0,224951

0,97437

0,230868

58

0,848048

0,529919

1,600335

14

0,241922

0,970296

0,249328

59

0,857167

0,515038

1,664279

15

0,258819

0,965926

0,267949

60

0,866025

0,5

1,732051

16

0,275637

0,961262

0,286745

61

0,87462

0,48481

1,804048

17

0,292372

0,956305

0,305731

62

0,882948

0,469472

1,880726

18

0,309017

0,951057

0,32492

63

0,891007

0,45399

1,962611

19

0,325568

0,945519

0,344328

64

0,898794

0,438371

2,050304

20

0,34202

0,939693

0,36397

65

0,906308

0,422618

2,144507

21

0,358368

0,93358

0,383864

66

0,913545

0,406737

2,246037

22

0,374607

0,927184

0,404026

67

0,920505

0,390731

2,355852

23

0,390731

0,920505

0,424475

68

0,927184

0,374607

2,475087

24

0,406737

0,913545

0,445229

69

0,93358

0,358368

2,605089

25

0,422618

0,906308

0,466308

70

0,939693

0,34202

2,747477

26

0,438371

0,898794

0,487733

71

0,945519

0,325568

2,904211

27

0,45399

0,891007

0,509525

72

0,951057

0,309017

3,077684

28

0,469472

0,882948

0,531709

73

0,956305

0,292372

3,270853

29

0,48481

0,87462

0,554309

74

0,961262

0,275637

3,487414

30

0,5

0,866025

0,57735

75

0,965926

0,258819

3,732051

31

0,515038

0,857167

0,600861

76

0,970296

0,241922

4,010781

32

0,529919

0,848048

0,624869

77

0,97437

0,224951

4,331476

33

0,544639

0,838671

0,649408

78

0,978148

0,207912

4,70463

34

0,559193

0,829038

0,674509

79

0,981627

0,190809

5,144554

35

0,573576

0,819152

0,700208

80

0,984808

0,173648

5,671282

36

0,587785

0,809017

0,726543

81

0,987688

0,156434

6,313752

37

0,601815

0,798636

0,753554

82

0,990268

0,139173

7,11537

38

0,615661

0,788011

0,781286

83

0,992546

0,121869

8,144346

39

0,62932

0,777146

0,809784

84

0,994522

0,104528

9,514364

40

0,642788

0,766044

0,8391

85

0,996195

0,087156

11,43005

41

0,656059

0,75471

0,869287

86

0,997564

0,069756

14,30067

42

0,669131

0,743145

0,900404

87

0,99863

0,052336

19,08114

43

0,681998

0,731354

0,932515

88

0,999391

0,034899

28,63625

44

0,694658

0,71934

0,965689

89

0,999848

0,017452

57,28996

45

0,707107

0,707107

1

90

1

Saiba também: Secante, cossecante e cotangente

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Determine o valor de x e y no triângulo a seguir.

Solução:

Veja no triângulo que o ângulo dado foi de 30°. Observando ainda o triângulo, temos que o lado que mede x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, e o lado que mede y é o cateto adjacente ao ângulo de 30°. Assim, devemos buscar uma razão trigonométrica que relacione o que procuramos com que é dado (hipotenusa). Logo:

sen 30° =  Cateto oposto 

          Hipotenusa   

cos 30° =  Cateto adjacente 

           Hipotenusa    

Determinado o valor de x:

sen 30° = Cateto oposto 

              Hipotenusa      

sen 30° = x

         2

Olhando na tabela, temos que:

sen 30° = 1

         2

Substituindo na equação, teremos:

1 = x

2  2

x = 1

De modo análogo, consideraremos

Assim: 

Cos 30° = √3 

         2

cos 30° =  Cateto adjacente 

            Hipotenusa 

cos 30° = Y

           2   

√3 = Y

 2   2

y = √3

Questão 2 – (PUC-SP) Qual é o valor de x na figura seguinte?

Solução:

Visualizando o triângulo maior, observe que y é oposto ao ângulo de 30° e que 40 é a hipotenusa, ou seja, podemos usar a razão trigonométrica seno.

sen 30° = Y

        40

  1  = Y

   2   40

  2 y = 40

   y = 20

Olhando agora para o triângulo menor, veja que temos o valor do cateto oposto e buscamos o valor de x, que é o cateto adjacente. A relação trigonométrica que envolve esses dois catetos é a tangente. Assim:

tg 60° = 20

        x

√3= 20

    x

√3 x = 20

x = 20 · √3

   √3   √3

x = 20√3

    3 "

Veja mais sobre "Seno, cosseno e tangente" em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm

Seno, Cosseno e Tangente

Rosimar Gouveia Professora de Matemática e Física

Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados.

O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.

De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:

Seno (Sen  )

É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Veja também: Lei dos Senos

Cosseno (Cos )

É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Veja também: Lei dos Cossenos

Tangente (Tg )

É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.

Veja também: Trigonometria no Triângulo Retângulo

Tabela Trigonométrica

Na tabela trigonométrica consta o valor de cada razão trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º.

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos e por isso, eles são chamados de ângulos notáveis.

Relações Trigonométricas30°45°60°Seno1/2√2/2√3/2Cosseno√3/2√2/21/2Tangente√3/31√3Veja também: Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Como Calcular as Razões Trigonométricas?

Para compreender melhor a aplicação das fórmulas, confira abaixo dois exemplos:

1) Encontre os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo  do triângulo abaixo.

Solução

Para encontrar os valores do seno, cosseno e tangente, devemos substituir a medida de cada lado do triângulo nas respectivas fórmulas.

Observando a imagem, identificamos que o cateto oposto mede 5 cm, o cateto adjacente mede 12 cm e a medida da hipotenusa é igual a 13 cm. Assim, temos:

Veja também: Relações Trigonométricas

2) Determine o valor de x na figura abaixo.

Observe que temos a medida da hipotenusa (10 cm) e queremos descobrir a medida de x, que é o cateto oposto ao ângulo de 45º. Desta forma, aplicaremos a fórmula do seno.

De acordo com a tabela trigonométrica, o valor do seno de 45.º é aproximadamente igual a 0,7071. Assim:

Portanto, o lado x mede 7,071 cm.

Veja também: Razões Trigonométricas

Exercícios de Vestibular

1. (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

Ver Resposta

2.(Cefet-MG) O triângulo ABC é retângulo em  e os segmentos  são perpendiculares.

Assim, a medida do segmento  vale