sobre calculo numerico

em dubai as ilhas mundo sao um arquipelogo de 300ilhas no formato do mapa do mundo.estao sendo construidas usando basicamente areia dragada do proprio mar.cada ilha varia de23000m quadrados a 84000m quadrados de area com cerca de 50 a 100 metros de agua entre um ilha e outra.o complexo cobrira um area de 9km de comprimento por 6 de largura ,circulando por um quebra mar ovalado .o unico meio de transporte entre as ilhas sera barco ou helicoptero .as escavaçoes começaram em 2004 e atualmente estão 90% completas .o custo total do arquipelogo sera de 14 bilhões de dolares; um engenheiro apresentou um quadro de custo total f(x) em bilhoes de dolares para implantação de infraestrutura de grandes obras em função de suas areas x em mil metros quadados conforme: x(mil,metros quadrdos) =15 - 60 - 84 e f(x) bilhoes de dolares = 6 - 9 -14

quanto aproximadamente para implantação de infarestrutura de uma obra com 22 mil m quadrados fazendo uso da interpolação polinomial pela forma de Lagrange. qual a resposta correta: a) 6bilhoes de dolares;b)6,79 bilhoes dolares ; c) 7,88 bilhoes de dolares ; de) 8,15 bilhoes de dolares ; e) 8,69 bilhoes de dolares.

Cálculo Numérico

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Anhanguera

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3

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Rogério Ssantos

20.06.2019

💡 5 Respostas

Jeferson Correia

20.06.2019

Entrar em contato para as resoluções. 81 9 9701 1759

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Andre Smaira

30.09.2019

Para determinar o polinômio interpolador de Lagrange de grau

\(n\)

para um conjunto de

\(n+1\)

pontos dados, vamos utilizar a seguinte expressão:

${P_n}\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {f\left( {{x_k}} \right){L_{n,k}}\left( x \right)}$

Na fórmula do polinômio acima, ${{L_{n,k}}\left( x \right)}$ é calculado por:

${L_{n,k}}\left( x \right) = \prod\limits_{i = 0,i \ne k}^n {\dfrac{{\left( {x - {x_i}} \right)}}{{\left( {{x_k} - {x_i}} \right)}}}$

Em nosso caso, os pontos $\left( {{x_i},{y_i}} \right)$ dados foram $\left( {15,6} \right)$ , $\left( {60,9} \right)$ , $\left( {84,14} \right)$ . Como foram dados três pontos, temos que $$n = 2$$ . Assim, o polinômio que queremos determinar é de grau 2. Logo, a forma do polinômio será:

${P_2}\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right){L_{2,0}}\left( x \right) + f\left( {{x_1}} \right){L_{2,1}}\left( x \right) + f\left( {{x_2}} \right){L_{2,2}}\left( x \right)$

Como $f\left( {{x_0}} \right) = 6$ , $f\left( {{x_1}} \right) = 9$ e $f\left( {{x_2}} \right) = 14$ , temos que ${P_2}\left( x \right) = 6 \cdot {L_{2,0}}\left( x \right) + 9 \cdot {L_{2,1}}\left( x \right) + 14 \cdot {L_{2,2}}\left( x \right)$ . Para os termos ${L_{n,k}}\left( x \right)$ , temos:

$\left\{ \matrix{ {L_{2,0}}\left( x \right) = {{\left( {x - {x_1}} \right)} \over {\left( {{x_0} - {x_1}} \right)}} \cdot {{\left( {x - {x_2}} \right)} \over {\left( {{x_0} - {x_2}} \right)}} \cr = {{\left( {x - 60} \right)\left( {x - 84} \right)} \over {\left( {15 - 60} \right)\left( {15 - 84} \right)}} \cr = {{\left( {x - 60} \right)\left( {x - 84} \right)} \over {3.105}} \cr {L_{2,1}}\left( x \right) = {{\left( {x - {x_0}} \right)} \over {\left( {{x_1} - {x_0}} \right)}} \cdot {{\left( {x - {x_2}} \right)} \over {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}} \cr = {{\left( {x - 15} \right)\left( {x - 84} \right)} \over {\left( {60 - 15} \right)\left( {60 - 84} \right)}} \cr = - {{\left( {x - 15} \right)\left( {x - 84} \right)} \over {1.080}} \cr {L_{2,2}}\left( x \right) = {{\left( {x - {x_0}} \right)} \over {\left( {{x_2} - {x_0}} \right)}} \cdot {{\left( {x - {x_1}} \right)} \over {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} \cr = {{\left( {x - 15} \right)\left( {x - 60} \right)} \over {\left( {84 - 15} \right)\left( {84 - 60} \right)}} \cr = {{\left( {x - 15} \right)\left( {x - 60} \right)} \over {1.656}} } \right.$

Assim, substituindo os termos encontrados no polinômio, temos:

${P_2}\left( x \right) = 6 \cdot {{\left( {x - 60} \right)\left( {x - 84} \right)} \over {3.105}} - 9 \cdot {{\left( {x - 15} \right)\left( {x - 84} \right)} \over {1.080}} + 14 \cdot {{\left( {x - 15} \right)\left( {x - 60} \right)} \over {1.656}}$

Logo, para uma obra de 22 mil metros quadrados, temos ${P_2}\left( {22} \right) \cong 5,92$ . Ou seja, um custo aproximado de 6 bilhões de dólares.

Portanto, a alternativa a) é a correta.

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