Encontre a atea do elipsoide obtido pela rotação em torno do eixo x da elipse 2x^2 + y^2 = 1?

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\[A = \int_a^b {2\pi f\left( x \right)\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} dx}\]

Como a elipse que rotaciona en torno do eixo \(x\) é dada por \(2{x^2} + {y^2} = 1\), vamos tomar a parte superior da elipse dada por \(y = \sqrt {1 - 2{x^2}}\) para \(f(x)\).

Como \(y' = - \dfrac{{2x}}{{{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^{1/2}}}}\) e a elipse intersecciona o eixo \(x\) em \(a = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) e \(b = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), a área fica:

\[\eqalign{ A &= \int_{ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\left( {2\pi \sqrt {1 - 2{x^2}} \sqrt {1 + {{\left[ { - \dfrac{{2x}}{{{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^{1/2}}}}} \right]}^2}} } \right)dx}\cr&= \int_{ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\left( {2\pi \sqrt {1 - 2{x^2}} \sqrt {1 + \dfrac{{4{x^2}}}{{1 - 2{x^2}}}} } \right)dx}\cr&= \int_{ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\left( {2\pi \sqrt {1 + 2{x^2}} } \right)dx}\cr&= 2\pi \int_{ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\sqrt {1 + 2{x^2}} dx}\cr&= 2\pi \left( {1 + \dfrac{{\arcsin h\left( 1 \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right) }\]

Portanto, \(\boxed{A = 2\pi \left( {1 + \dfrac{{\arcsin h\left( 1 \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right)}\).