Por favor, me ajudem nessa questão de derivadas parciais!

\[\left\{ \matrix{ {{\partial f} \over {\partial x}} = 0 \cr {{\partial f} \over {\partial y}} = 0 } \right.\]

Do enunciado, temos que \(f\left( {x,y} \right) = {{{{\left( {ax + by + c} \right)}^2}} \over {{x^2} + {y^2} + 1}}\). Logo, para a derivada em relação a \(x\):

\[\eqalign{ {{\partial f} \over {\partial x}} &= {{2\left( {ax + by + c} \right) \cdot a \cdot \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) - {{\left( {ax + by + c} \right)}^2} \cdot 2x} \over {{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2a\left( {ax + by + c} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) - 2x{{\left( {ax + by + c} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)}^2}}} }\]

E, para a derivada em relação a \(y\), temos:

\[\eqalign{ {{\partial f} \over {\partial y}} &= {{2\left( {ax + by + c} \right) \cdot b \cdot \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) - {{\left( {ax + by + c} \right)}^2} \cdot 2y} \over {{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2b\left( {ax + by + c} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) - 2y{{\left( {ax + by + c} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)}^2}}} }\]

Assim, o sistema de derivadas fica:

\[\left\{ \matrix{ {{\partial f} \over {\partial x}} = 0 \cr {{\partial f} \over {\partial y}} = 0 } \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a\left( {1 + {y^2}} \right) - x\left( {by + c} \right) = 0 \cr y\left( {ax + c} \right) - b\left( {1 + {x^2}} \right) = 0 } \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {a \over c} \hfill \cr y = {b \over c} \hfill } \right.\]

Portanto, o ponto candidato a máximo é \(\left( {{a \over c},{b \over c}} \right)\). Para mostrar que o ponto é de máximo devemos verificar que \({{{\partial ^2}f} \over {\partial {x^2}}}\left( {a/c,b/c} \right) < 0\). Para a função dada temos que \({{{\partial ^2}f} \over {\partial {x^2}}}\left( {a/c,b/c} \right) = 4a\left( {{{3{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right)\) é negativo para \(a<0\).

Assim, fazendo \(x = {a \over c}\) e \(y = {b \over c}\) em \(f(x,y)\), o valor máximo é:

\[\eqalign{ {{{{\left( {{{{a^2}} \over c} + {{{b^2}} \over c} + c} \right)}^2}} \over {{{{a^2}} \over {{c^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + 1}} &= {{{{\left( {{{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over c}} \right)}^2}} \over {{{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {{c^2}}}}}\cr&= {a^2} + {b^2} + {c^2} }\]

Portanto o valor máximo da função ocorre no ponto \(\boxed{\left( {\dfrac{a}{c},\dfrac{b}{c}} \right)}\) e é igual a \(\boxed{{a^2} + {b^2} + {c^2}}\), pois \(\boxed{\dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {a/c,b/c} \right) < 0}\).