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(Exercício 48 capítulo 4-Princípios de Física Vol. 1)

Um móbile é formado por quatro borboletas de metal de massa m sustentadas por uma corda de comprimento L. Os pontos de suporte são espaçados à mesma distância , como mostrado na Figura P4.50. A corda forma um ângulo q1 com o teto em cada ponta. A seção central da corda é horizontal. (a) Encontre a tensão em cada seção de corda em termos de q1, m e g. (b) Em termos de q1, encontre o ângulo q2 que as seções de corda entre as borboletas de fora e as borboletas de dentro formam com a horizontal. (c) Mostre que a distância D entre as extremidades da corda é

D=L/5{2 cos(theta1) + 2 cos[tg-1(1/2tg(theta1)]+1}

Física MecânicaColégio Objetivo

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Há mais de um mês

(a) Para resolver esse exercício, temos que lembrar que cada borboleta individualmente está parada, logo a resultante sobre o nó logo acima é nula, mas é relevante notar que o sistema é simétrico, de forma que as duas equações da esquerda serão idênticas às da direita, de forma que somente um desses pares é necessário:


\[\begin{cases}T_{1,5}\sin\theta_1=mg+T_{2,4}\sin\theta_2\\T_{1,5}\cos\theta_1=T_{2,4}\cos\theta_2\\T_{2,4}\sin\theta_2=mg\\T_{2,4}\cos\theta_2=T_3\end{cases}\]

Temos quatro equações e quatro variáveis, o que indica um sistema provavelmente determinado. Vamos resolver. Substituindo a terceira equação na primeira, temos:


\[T_{1,5}\sin\theta_1=mg+mg=2mg\Rightarrow \boxed{T_{1,5}=\dfrac{2mg}{\sin\theta_1}}\]

Substituindo a quarta na segunda, temos:


\[T_{1,5}\cos\theta_1=T_3\Rightarrow \boxed{T_3=\dfrac{2mg}{\tan\theta_1}}\]

Elevando as duas últimas ao quadrado e somando-as, temos:


\[(T_{2,4}\sin\theta_2)^2+(T_{2,4}\cos\theta_2)^2=(mg)^2+T_3^2\]

Simplificando o lado esquerdo através da relação fundamental da trigonometria e substituindo os resultados já obtidos no lado direito, temos:


\[T_{2,4}^2=m^2g^2+\dfrac{4m^2g^2}{\tan^2\theta_1}\Rightarrow \boxed{T_{2,4}=\dfrac{mg}{\tan\theta_1}\sqrt{4+\tan^2\theta_1}}\]

(b) Com qualquer uma das quatro equações do sistema do item anterior é possível obter o ângulo. Tomemos, por exemplo, a quarta:


\[T_{2,4}\cos\theta_2=T_3\Rightarrow \cos\theta_2=\dfrac{T_3}{T_{2,4}}=\dfrac{\dfrac{2mg}{\tan\theta_1}}{\dfrac{mg}{\tan\theta_1}\sqrt{4+\tan^2\theta_1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4+\tan^2\theta_1}}\]

Mas ainda podemos simplificar. Perceba que:


\[\sec\theta_2=\dfrac1{\cos\theta_2}=\dfrac{\sqrt{4+\tan^2\theta_1}}2\]

Lembres-se ainda que da relação fundamental da trigonometria, temos:


\[\sin^2\theta_2+\cos^2\theta_2=1\Rightarrow \sec^2\theta_2-1=\tan^2\theta_2\]

Logo:


\[\tan^2\theta_2=\dfrac14\tan^2\theta_1\Rightarrow \boxed{\theta_2=\arctan\left(\dfrac12\tan\theta_1\right)}\]

(c) Geometricamente é fácil observar que:


\[D=l\cos\theta_1+l\cos\theta_2+l+l\cos\theta_2+l\cos\theta_1=l(2\cos\theta_1+2\cos\theta_2+1)\]

Mas \(L=5l\):


\[\boxed{D=\dfrac{L}5\left\{2\cos\theta_1+2\cos\left[ \arctan\left(\dfrac12\tan\theta_1\right)\right]+1\right\}}\]

Como queríamos demonstrar.

(a) Para resolver esse exercício, temos que lembrar que cada borboleta individualmente está parada, logo a resultante sobre o nó logo acima é nula, mas é relevante notar que o sistema é simétrico, de forma que as duas equações da esquerda serão idênticas às da direita, de forma que somente um desses pares é necessário:


\[\begin{cases}T_{1,5}\sin\theta_1=mg+T_{2,4}\sin\theta_2\\T_{1,5}\cos\theta_1=T_{2,4}\cos\theta_2\\T_{2,4}\sin\theta_2=mg\\T_{2,4}\cos\theta_2=T_3\end{cases}\]

Temos quatro equações e quatro variáveis, o que indica um sistema provavelmente determinado. Vamos resolver. Substituindo a terceira equação na primeira, temos:


\[T_{1,5}\sin\theta_1=mg+mg=2mg\Rightarrow \boxed{T_{1,5}=\dfrac{2mg}{\sin\theta_1}}\]

Substituindo a quarta na segunda, temos:


\[T_{1,5}\cos\theta_1=T_3\Rightarrow \boxed{T_3=\dfrac{2mg}{\tan\theta_1}}\]

Elevando as duas últimas ao quadrado e somando-as, temos:


\[(T_{2,4}\sin\theta_2)^2+(T_{2,4}\cos\theta_2)^2=(mg)^2+T_3^2\]

Simplificando o lado esquerdo através da relação fundamental da trigonometria e substituindo os resultados já obtidos no lado direito, temos:


\[T_{2,4}^2=m^2g^2+\dfrac{4m^2g^2}{\tan^2\theta_1}\Rightarrow \boxed{T_{2,4}=\dfrac{mg}{\tan\theta_1}\sqrt{4+\tan^2\theta_1}}\]

(b) Com qualquer uma das quatro equações do sistema do item anterior é possível obter o ângulo. Tomemos, por exemplo, a quarta:


\[T_{2,4}\cos\theta_2=T_3\Rightarrow \cos\theta_2=\dfrac{T_3}{T_{2,4}}=\dfrac{\dfrac{2mg}{\tan\theta_1}}{\dfrac{mg}{\tan\theta_1}\sqrt{4+\tan^2\theta_1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4+\tan^2\theta_1}}\]

Mas ainda podemos simplificar. Perceba que:


\[\sec\theta_2=\dfrac1{\cos\theta_2}=\dfrac{\sqrt{4+\tan^2\theta_1}}2\]

Lembres-se ainda que da relação fundamental da trigonometria, temos:


\[\sin^2\theta_2+\cos^2\theta_2=1\Rightarrow \sec^2\theta_2-1=\tan^2\theta_2\]

Logo:


\[\tan^2\theta_2=\dfrac14\tan^2\theta_1\Rightarrow \boxed{\theta_2=\arctan\left(\dfrac12\tan\theta_1\right)}\]

(c) Geometricamente é fácil observar que:


\[D=l\cos\theta_1+l\cos\theta_2+l+l\cos\theta_2+l\cos\theta_1=l(2\cos\theta_1+2\cos\theta_2+1)\]

Mas \(L=5l\):


\[\boxed{D=\dfrac{L}5\left\{2\cos\theta_1+2\cos\left[ \arctan\left(\dfrac12\tan\theta_1\right)\right]+1\right\}}\]

Como queríamos demonstrar.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas