Considere a reta representativa da função g(x) = ax + b. Essa reta passa no vértice e no ponto sobre o eixo y da parábola Y= -2X² + 4X + 4. Calcule g

Oi Henrique, para resolver essa questão precisamos identificar quais são os pontos de interseção entre a reta e a parábolsa.

A questão disse que a reta passa pelo vértice e no ponto do eixo y da parábola.

O vértice da parábola são os pontos  \((X_V,Y_V)=\left(\dfrac{-b}{2a},\dfrac{-\Delta}{4a}\right)\)

Como da parábola temos que  \(a=-1 / b=4/ c=4\) \(\longrightarrow \left(\dfrac{-4}{-2},\dfrac{-12}{-4}\right)=\left(2,3\right) \)

A reta também passa no ponto do eixo y da parábola, esse ponto é quando na parábola temos o x=0 ou seja \(y=-2\cdot(0)^2+4\cdot 0 +4=4\) , sendo assim o segunto ponto que a reta passa é \((0,4)\) 

Como a lei de formção da reta é \(g(x)=ax+b\\\begin{cases} g(2)=3\longrightarrow 2\cdot a+b=3\\ g(0)=4\longrightarrow 0\cdot a+b=4\longrightarrow b=4\longrightarrow a=\dfrac{-1}{2} \end{cases}\)

Assim, \(g(x)=\dfrac{-1}{2}x+4\)

\(g(10)=\dfrac{-1\cdot 10}{2}+4 =1\)

Qualquer dúvida só me perguntar, obrigada :)

Para as coordenadas \(\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) do vértice da parábola \(y = a{x^2} + bx + c\), temos \({x_1} = - \dfrac{b}{{2a}}\) e \({y_1} = - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\). Assim, para a parábola do enunciado:

\[\left\{ \matrix{ {x_1} = - {4 \over {2 \cdot \left( { - 2} \right)}} \cr = 1 \cr {y_1} = - {{{4^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 4} \over {4 \cdot \left( { - 2} \right)}} \cr = 6 } \right.\]

Para as coordenadas \(\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) do ponto de intersecção sobre o eixo \(y\), temos que fazer \({x_2} = 0\) na expressão da parábola:

\[\eqalign{ {y_2} &= - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 4\cr&= 4 }\]

Assim, a reta que representa \(g\left( x \right)\) passa pelos pontos \(\left( {1,6} \right)\) e \(\left( {0,4} \right)\). Como \(g\left( x \right) = ax + b\), vamos substituir os valores das coordenadas encontradas para obter os valores de \(a\) e \(b\):

\[\left\{ \matrix{ 6 = a \cdot 1 + b \cr 4 = a \cdot 0 + b } \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 2 \cr b = 4 } \right.\]

Assim, a função é dada por \(g\left( x \right) = 2x + 4\). Para \(x=10\), temos:

\[\eqalign{ g\left( {10} \right) &= 2 \cdot 10 + 4\cr&= 24 }\]

Portanto, \(\boxed{g\left( x \right) = 2x + 4}\) e \(\boxed{g\left( {10} \right) = 24}\).