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1) Uma Progressão Aritmética tem 23 termos, a soma dos três termos intermediários desta progressão aritmética é 720, e a soma dos três últimos termos

1) Uma Progressão Aritmética tem 23 termos, a soma dos três termos intermediários desta progressão aritmética é 720, e a soma dos três últimos termos desta Progressão Aritmética é 1320. Qual é o termo de 18 metros desta Progressão Aritmética?​ A. 240 B. 360 C. 340 D. 440

Matemática

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4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Os três termos intermediários dessa PA são:


\[a_{11}, a_{12}, a_{13}\]

e os últimos três termos são


\[a_{21}, a_{22}, a_{23}\]

---

O enunciado fornece que:


\[\eqalign{&a_{11}+a_{12}+a_{13}=720 \:\:\:\:\:\: (I)\\& a_{21}+a_{22}+ a_{23}=1320 \:\:\:\:\:\: (II)}\]

Entretanto, sabemos que


\[\eqalign{&a_{11}=a_1+10r\\& a_{12}=a_1+11r\\& a_{13}=a_1+12r\\& a_{21}=a_1+20r\\& a_{22}=a_1+21r\\& a_{23}=a_1+22r\\}\]

onde r é a razão da P.A

---

Substituindo as equações acima nas equações (I) e (II), obtemos:


\[\eqalign{&a_{11}+a_{12}+a_{13}=720\\& a_1+10r+a_1+11r+a_1+12r=720\\& 3a_1+33r=720\\& a_1+11r=240\\& \:\\& \:\\& a_{21}+a_{22}+a_{23}=1320\\& a_1+20r+a_1+21r+a_1+22r=1320\\& 3a_1+63r=1320\\& a_1+21r=440\\}\]

----

Resolvendo um sistema entre as duas equações resultantes:


\[\eqalign{&240-11r+21r=440\\& 10r=200\\& r=20}\]

----

Assim:


\[\eqalign{&a_1+21r=440\\& a_1+21.20=440\\& a1=440-420\\& a_1=20}\]

----

Por fim, utilizando o termo geral de uma PA, encontramos o décimo oitavo termo dessa PA:


\[\eqalign{&a_{18}=a_1+(n-1)r\\& a_{18}=20+(18-1).20\\& a_{18}=20+17.20\\& a_{18}=20+340\\& a_{18}=360}\]

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Portanto, a alternativa que está correta é a alternativa B.

Os três termos intermediários dessa PA são:


\[a_{11}, a_{12}, a_{13}\]

e os últimos três termos são


\[a_{21}, a_{22}, a_{23}\]

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O enunciado fornece que:


\[\eqalign{&a_{11}+a_{12}+a_{13}=720 \:\:\:\:\:\: (I)\\& a_{21}+a_{22}+ a_{23}=1320 \:\:\:\:\:\: (II)}\]

Entretanto, sabemos que


\[\eqalign{&a_{11}=a_1+10r\\& a_{12}=a_1+11r\\& a_{13}=a_1+12r\\& a_{21}=a_1+20r\\& a_{22}=a_1+21r\\& a_{23}=a_1+22r\\}\]

onde r é a razão da P.A

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Substituindo as equações acima nas equações (I) e (II), obtemos:


\[\eqalign{&a_{11}+a_{12}+a_{13}=720\\& a_1+10r+a_1+11r+a_1+12r=720\\& 3a_1+33r=720\\& a_1+11r=240\\& \:\\& \:\\& a_{21}+a_{22}+a_{23}=1320\\& a_1+20r+a_1+21r+a_1+22r=1320\\& 3a_1+63r=1320\\& a_1+21r=440\\}\]

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Resolvendo um sistema entre as duas equações resultantes:


\[\eqalign{&240-11r+21r=440\\& 10r=200\\& r=20}\]

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Assim:


\[\eqalign{&a_1+21r=440\\& a_1+21.20=440\\& a1=440-420\\& a_1=20}\]

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Por fim, utilizando o termo geral de uma PA, encontramos o décimo oitavo termo dessa PA:


\[\eqalign{&a_{18}=a_1+(n-1)r\\& a_{18}=20+(18-1).20\\& a_{18}=20+17.20\\& a_{18}=20+340\\& a_{18}=360}\]

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Portanto, a alternativa que está correta é a alternativa B.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas