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Um hexágono regular tem x cm de lado. Determine a área desse hexagono, sabendo que ele esta inscrito em uma circunferência de raio 36cm. Determine

Um hexágono regular tem x cm de lado. Determine a área desse hexagono, sabendo que ele esta inscrito em uma circunferência de raio 36cm. Determine também o apótema desse hexágono.

Matemática

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A figura abaixo expõe um hexágono regular.


Hexágono regular. Fonte: Matika. Acesso 21 jul. 2019

Por sua vez, a figura abaixo expõe um hexágono inscrito em um circulo.


Hexágono inscrito em um círculo. Fonte: Mundo Educação. Acesso 21 jul. 2019

Visto isso, a área do triângulo no problema em questão é:



\[\displaylines{{\left( {36{\text{ cm}}} \right)^2} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{36{\text{ cm}}}}{2}} \right)}2} + {h2}} \]
1296{\text{ c}}{{\text{m}}^2} = 324{\text{ c}}{{\text{m}}2} + {h2} \(h = 31,18{\text{ cm}} = \text{apótema} \)$$\dfrac{{b \cdot h}}{2} = \dfrac{{\left( {36{\text{ cm}}} \right) \cdot \left( {31,18{\text{ cm}}} \right)}}{2} \(= 561,24{\text{ cm}} \\} \)Por fim, a área do hexágono é igual a seis vezes a área do triângulo. Logo:



\[6\cdot\left( {561,24{\text{ cm}}} \right) = 3367.44{\text{ c}}{{\text{m}}^2}\]

Portanto, a área do hexágono é de \(\boxed{3367.44{\text{ c}}{{\text{m}}^2}}\).

A figura abaixo expõe um hexágono regular.


Hexágono regular. Fonte: Matika. Acesso 21 jul. 2019

Por sua vez, a figura abaixo expõe um hexágono inscrito em um circulo.


Hexágono inscrito em um círculo. Fonte: Mundo Educação. Acesso 21 jul. 2019

Visto isso, a área do triângulo no problema em questão é:



\[\displaylines{{\left( {36{\text{ cm}}} \right)^2} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{36{\text{ cm}}}}{2}} \right)}2} + {h2}} \]
1296{\text{ c}}{{\text{m}}^2} = 324{\text{ c}}{{\text{m}}2} + {h2} \(h = 31,18{\text{ cm}} = \text{apótema} \)$$\dfrac{{b \cdot h}}{2} = \dfrac{{\left( {36{\text{ cm}}} \right) \cdot \left( {31,18{\text{ cm}}} \right)}}{2} \(= 561,24{\text{ cm}} \\} \)Por fim, a área do hexágono é igual a seis vezes a área do triângulo. Logo:



\[6\cdot\left( {561,24{\text{ cm}}} \right) = 3367.44{\text{ c}}{{\text{m}}^2}\]

Portanto, a área do hexágono é de \(\boxed{3367.44{\text{ c}}{{\text{m}}^2}}\).

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