\[i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}\]
Sendo \(i=\sqrt{-1}\), tem-se o seguinte:
\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} i^1&=i \\ i^2&=-1 \\ i^3&=-i \\ i^4&=1 \end{align} \end{matrix} \right.\]
Com isso, a equação \(i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}\) fica da seguinte forma:
\[i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}= (i^{124}\cdot i^2)+\bigg({1\over i^{124}\cdot i^{2}}\bigg)+(i^{28}\cdot i^3)-i^{180}\]
Como os números \(124\), \(28\) e \(180\) são múltiplos de \(4\), tem-se \(i^{124} =i^{28}= i^{180}= i^4= 1\). Portanto, a equação fica da seguinte forma:
\[\begin{align} i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180} &= (i^{4}\cdot i^2)+\bigg({1\over i^{4}\cdot i^{2}}\bigg)+(i^{4}\cdot i^3)-i^{4}\\ &= (1\cdot (-1))+\bigg({1\over 1\cdot (-1)}\bigg)+(1\cdot (-i))-1\\ &= -1+\bigg({1\over -1}\bigg)-i-1\\ &= -1-1-i-1\\ &= -3-i\\ \end{align}\]
Concluindo, o número complexo resultante é \(\boxed{-3-i}\).
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