dada a funcao f(x)= 1 sobre x-2, determine.O dominio, contradominio, ordenada na origem, assitota vertical e horizontal e centro de simetria​

O domínio da função \(f(x)={1 \over x-2}\) é o conjunto os valores de \(x\) que implicam em \(f(x) \in \mathbb{R}\). Para \(f(x)\) ser real, o termo no denominador deve ser diferente de zero. Ou seja:

\[\begin{align} x-2 &\ne 0 \\ x &\ne 2

\end{align}\]
Portanto, o domínio de \(f(x)={1 \over x-2}\) é \(\boxed{D=\{x \in \mathbb{R} \,|\, x \ne 2\}}\).

1. Contradomínio:

O contradomínio da função \(f(x)={1 \over x-2}\) é o conjunto de potenciais valores de \(f(x)\). Como o contradomínio é o conjunto dos valores reais, o contradomínio de \(f(x)={1 \over x-2}\) é \(\boxed{CD=\{y \in \mathbb{R} \}}\).

1. Ordenada na origem:

A ordenada na origem é o valor de \(y\) quando \(x=0\). Portanto, o valor de \(f(0)\) é:

\[\begin{align} f(0)&={1 \over x-2} \\

&={1 \over 0-2} \\

&=-{1 \over 2} \\

\end{align}\]
Concluindo, a ordenada na origem é \(\boxed{f(0)=-{1 \over 2}}\).

1. Assíntota vertical e horizontal:

O gráfico de \(f(x)={1 \over x-2}\) será plotado através da aplicação de limite.

• Quando \(x\) tende a \(\pm \infty\), o limite de \(f(x)\) é:


\[\begin{align}\lim_{x\to\pm\infty}f(x) &= \lim_{x \to \pm \infty}{1 \over x-2} \\

&={1 \over \pm \infty-2} \\ &= 0 \,\,\,\,(I)

\end{align}\]


• Quando \(x\) vai de \(-\infty\) até \(2\), o limite de \(f(x)\) é:


\[\begin{align}\lim_{x\to 2^{{-}}f(x) &= \lim_{x \to 2}{-}}{1 \over x-2} \\

&= {1 \over 2^{-}-2} \\ &= -\infty \,\,\,\,(II)

\end{align}\]


• Quando \(x\) vai de \(+\infty\) até \(2\), o limite de \(f(x)\) é:


\[\begin{align}\lim_{x\to 2^{{+}}f(x) &= \lim_{x \to 2}{+}}{1 \over x-2} \\

&= {1 \over 2^{+}-2} \\ &= +\infty\,\,\,\,(III)

\end{align}\]


Com isso, o gráfico de \(f(x)={1 \over x-2}\) fica da seguinte forma:


1565370194558

Portanto, pelo gráfico, as assíntotas vertical (\(x_v\)) e horizontal (\(y_h\)) são, respectivamente:

\[\boxed{\left\{\begin{matrix} x_v=2 \\ y_h=0 \end{matrix} \right. }\]


• Centro de simetria:

O centro de simetria é o ponto \((x_v;y_h)\), ou seja, o ponto de cruzamento das assíntotas vertical e horizontal.

Portanto, o centro de simetria é \(\boxed{(x_v;y_h)=(2;0)}\).