Uma escada com 10 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m\/s. É possível afirmar o quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 m da parede, sendo:
Situação retratada no enunciado.
Sabemos que o comprimento da escada é \(10m\), assim, podemos calcular a altura \(h\) fazendo uso do Teorema de Pitágoras:
\(10^2 = 6^2 + h^2\)
\(h^2 = 10^2 - 6^2\)
\(h^2 = 100 - 36\)
\(h^2 = 64\)
\(h = \sqrt{64}\)
\(h = 8m\).
Temos a seguinte relação, sendo \(x\) a distância horizontal que já deslizou:
\(x^2 + h^2 = 10^2\)
\(x^2 + h^2 = 100\)
Derivando implicitamente em relação ao tempo:
\(2x \dfrac{dx}{dt} + 2h \dfrac{dh}{dt} = 0\)
\(x\dfrac{dx}{dt} = -h \dfrac{dh}{dt}\)
Como a velocidade horizontal é \(1m/s\), temos \(\dfrac{dx}{dt} = 1m/s\), logo:
\(x * 1 = -h \dfrac{dh}{dt}\)
\(\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{-x}{h}\).
Como, no caso, temos \(x = 6m\) e \(h = 8m\), teremos:
\(\dfrac{-6}{8} = -0,75m/s\).
Assim, a velocidade de deslizamento vertical, nesse instante, será \(\boxed{-0,75m/s}\), sendo que o sinal negativo indica que é para baixo o deslizamento.
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