determine as letra a e b de modo a se obter um número divisível por 5,9 e 10 em 4a52b

\(4a52b\) é divisível por \(5\) se \(b=0\) ou \(b=5\). Então:

\(a=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\\ b=\{0,5\}\\ (a,b)=\{(0,0),(0,5),(1,0),(1,5).(2,0),(2,5),(3,0),(3,5),(4,0),\\(4,5),(5,0),(5,5),(6,0),(6,5),(7,0),(7,5),(8,0),(8,5),(9,0),(9,5)\}\)

\(4a52b\) é divisível por \(9\) se a soma dos algarismos for multiplo de \(9\).

\(4+a+5+2+b=9k\\ 11+a+b=9k\)

Uma vez que o maior número a ser substituído em \(a\) e \(b\) é o número 9, o valor máximo desta soma é 34. Assim:

\(9k\leq34\rightarrow k\leq\dfrac{34}{9}=3,78\)

Como estamos trabalhando com números inteiros e sabemos que a soma não é negativa e nem nula, então, isto implica que os valores que \(k\) pode assumir está dentro do intervalo \([1,3]\). Assim:

Para \(k=1, \hspace{1 cm} 11+a+b=9\)  (impossível)

Para \(k=2, \hspace{1 cm} 11+a++b=18, \hspace{1 cm} a+b=7\)então:

\((a,b)=\{(0,7),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(7,0)\}\)

Para \(k=3, \hspace{1 cm} 11+a+b=27, \hspace{1 cm} a+b=16\) então:

\((a,b)=\{(7,9),(8,8),(9,7)\}\)

Os valores para \(a\) e \(b\) estão no conjunto \(\{(0,7),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(7,0),(7,0),(8,8),(9,7)\} ​​​​\)

\(4a52b\) é divisível por \(10\) se \(b=0\).

\(a=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\\ b=\{0\}\\ (a,b)=\{(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(7,0),(8,0),(9,0)\}\)

A solução para \(a\) e \(b\) que torna \(4a52b\) divisível por 5, 9 e 10 está na intersecção dos conjuntos acima. Assim:

\((a,b)=\{(7,0)\}\)

De fato, pois 47520 é divisível por 5, 9 e 10.

\(\dfrac{47520}{5}=9504\\ \dfrac{47520}{9}=5280\\ \dfrac{47520}{10}=4752\)