Encontre o angulo formado pelos planos: A: x+y+z-5=0 e B: 2x+3y+z-12=0​

\[\eqalign{&n_a = a_ai+b_aj+c_az \\& n_b = a_bi+b_bj+c_bz}\]

Em \(A\), temos \(a_a=1, b_a=1\) e \(c_a=1\). Em \(B\), temos \(a_b=2,b_b=3\) e \(c_b=1\). Temos, então:

\[\eqalign{&n_a = i+j+z \\& n_b=2i+3j+z}\]

O ângulo \(\theta\) entre os dois planos será dado pela fórmula:

\[cos\theta = \dfrac{n_a \cdot n_b}{|n_a| \cdot |n_b|}\]

Calculando, então, o módulo de cada vetor:

\[|n_a| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}\]

\[|n_b| = \sqrt{2^2+3^2+1^2} = \sqrt{14}\]

Substituindo de volta na fórmula e calculando, no numerador, o produto escalar entre \(n_a\) e \(n_b\), temos:

\[cos\theta = \dfrac{(1 \cdot 2) + (1 \cdot 3) + (1 \cdot 1)}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{14}}\]

\[cos\theta = \dfrac{6}{\sqrt{42}}\]

\[cos\theta = 0,9258\]

\[\theta = 22,21º\]