Resolva as equações biquadradas: a) x⁴-16x²=0 b)11x⁴-7x²-4=0 c)4x⁴-5x²+9=0

\[x^4-16x^2 = 0\]

Como não há termo independente, podemos isolar o termo \(x^2\) e, supondo \(x \neq 0\), dividir ambos os lados por ele:

\[\eqalign{&x^2(x^2-16) = 0 \\& x^2-16 = 0 \\&x^2 = 16 \\& x = \sqrt{16} \\& x = \pm 4}\]

b)

\[11x^4-7x^2-4=0\]

Vamos fazer uma mudança de variável, chamando \(x^2 = z\):

\[11z^2-7z-4=0\]

Chegamos em uma equação de segundo grau, na qual podemos aplicar Bhaskara:

\[\eqalign{&z = \dfrac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-4)}}{2 \cdot 11} \\& z = \dfrac{7\pm \sqrt{49 + 176}}{22} \\& z = \dfrac{7\pm \sqrt{225}}{22} \\& z = \dfrac{7\pm 15}{22} \\& z = \dfrac{7+ 15}{22} = \dfrac{22}{22} = 1 \\& z = \dfrac{7- 15}{22} = -\dfrac{8}{22} = -\dfrac{4}{11}}\]

Desprezamos a raiz negativa encontrada, já que \(z = x^2\) e, por isso, \(z\) tem de ser necessariamente positiva. Voltando à variável \(x\), encontramos:

\[\eqalign{&z = x^2 \\& x = \sqrt{z} \\& x = \sqrt{1} =1}\]

c)

\[4x^4-5x^2+9=0\]

Novamente, vamos considerar \(x^2=z\) e realizar uma mudança de variável:

\[4z^2-5z+9 = 0\]

Chegamos novamente em uma equação de segundo grau. Vamos verificar o seu delta \(\triangle\):

\[\eqalign{&\triangle = \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9} \\& \triangle = \sqrt{25-144} <0}\]

Como ele é menor que zero, a equação em \(z\) não terá raízes reais. Portanto, a equação original em \(x\) também não possuirá raízes reais.