Considere a equação 9x2 + 12x + 2m = 0. Para quais valores de m essa equação:a) não admite raízes reais?b) tem duas raízes reais e iguais?c) tem duas

Trata-se de uma equação do segundo grau, desde que \(m\) seja independente de \(x\). Devemos nos lembrar, neste contexto, que uma equação do segundo grau é do tipo:

\(f(x) = a*x^2 + b*x + c\), onde:

• \(f(x)\) é o valor da função num dado ponto \(x\);
• \(a\), \(b\) e \(c\) são os coeficientes.

Assim, neste caso, temos:

\[f(x)= 9x^2 + 12x + 2m \begin{cases} a = 9 \\ b = 12 \\ c = 2m \end{cases}\]

a) Para que a equação admita duas raízes reais diferentes, é preciso que se tenha \(\Delta >0\), onde:

\(\Delta = b^2 - 4 * a * c\). Assim:

\(\Delta = 12^2 - 4 * 9 * 2m = 144 - 72m\).

\[\Delta > 0 \Rightarrow 144 - 72m > 0\]

\[-72m > -144\]

\[72m < 144\]

\(m < \dfrac{144}{72} = 2\).

Portanto, deve-se ter \(\boxed{m < 2}\).

b) Para que a equação tenha duas raízes reais iguais, é preciso que se tenha \(\Delta = 0\). Assim, seguindo o raciocínio feito acima, deve-se ter \(\boxed{m = 2}\).

c) Para que a equação não tenha raízes reais, é preciso que se tenha \(\Delta < 0\). Dessa forma, novamente de acordo com o raciocínio da a), deve-se ter \(\boxed{m > 2}\).