Se a um número real x adicionamos o numero real √x+2, vamos obter 10. Nessas condições, qual é o valor do número x?

\(x + \sqrt{x + 2} = 10\).

Queremos encontrar \(x\). Uma das opções que temos é trabalhar a equação:

\[x - 10 = \sqrt{x + 2}\]

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

\[(x - 10)^{2} = (\sqrt{x + 2})^{2}\]

\[x^2 - 20x + 100 = x + 2\]

\[x^2 - 20x +100 - x - 2 = 0\]

\[x^2 - 21x + 98 = 0\]

Vamos resolver a equação do segundo grau fazendo uso da fórmula de Bhaskara:

\[\Delta = b^2 - 4 * a * c = (-21)^2 - 4 * 1 * 98\]

\[\Delta = 441 - 392 = 49\]

\[x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2*a}\]

\[x = \dfrac{- (-21) \pm \sqrt{49}}{2 * 1}\]

\[x = \dfrac{21 \pm 7}{2}\]

Assim, temos duas raízes reais: \(x^{'} = \dfrac{21 + 7}{2} = \dfrac{28}{2} = 14\); e \(x^{"} = \dfrac{21 - 7}{2} = \dfrac{14}{2} = 7\).

Vamos testar as raízes:

• \(x = 14\):


\[x - 10 = \sqrt{x + 2}\]



\[14 - 10 = \sqrt{14 + 2}\]



\[4 = \sqrt{16}\]


\(4 = 4\) OK!

• \(x = 7\):


\[x - 10 = \sqrt{x + 2}\]



\[7 - 10 = \sqrt{7 + 2}\]



\[-3 = \sqrt{9}\]


\(-3 = 9\) (Não ok!)

Portanto, o número \(x\) é \(\boxed{14}\).