Calculo 2 - serie - Dizem que o famoso matemático, John von Neumann (1903−1957), foi desafiado a resolver

1) Dizem que o famoso matemático, John von Neumann (1903−1957), foi desafiado a resolver uma versão do seguinte problema:

Dois trens estão em rota de colisão em uma linha retilínea, movendo-se a 30 m/s. Quando se encontram a 1.000 m de distância, uma superabelha começa a voar de um trem para o outro com uma velocidade de 60 m/s e
não para até os trens se chocarem. Qual é a distância total percorrida pela inseto antes de ser esmagado?

Von Newmann pensou um pouco e deu a resposta correta. O homem que havia proposto o problema sorriu e disse: Eu devia saber que um gênio como o senhor logo veria que havia um macete. Von Newmann olhou para ele,
surpreso. Que macete? - perguntou - Eu só calculei a soma da série.

a. Calcule a soma de uma série, como fez von Newmann, para obter a distância percorrida pela pobre abelha.

b. Você é capaz, ao contrário do von Neumann, de resolver o problema de um modo mais simples? (A propósito:
problemas deste tipo, às vezes, são usados para testar os candidatos a um emprego na Microsoft.)

c. Tente resolver a seguinte versão, menos cruel, do mesmo problema. Suponha que os maquinistas percebam o perigo e acionem os freios quando os trens estão a 180 m de distância um do outro. Se os dois trens desaceleram à taxa de 5 m/s, qual é a distância percorrida pela abelha antes que os trens parem?