Uma barra metálica com 30 cm de comprimento se expande de 0,065 cm quando sua temperatura aumenta de 0°C até 100°C...

Uma barra metálica com 30 cm de comprimento se expande de 0,065 cm quando sua temperatura aumenta de 0°C até 100°C. Uma barra de outro metal e com o mesmo comprimento dilata-se 0,035 cm com a mesma variação de temperatura. Uma terceira barra, também com 30 cm de comprimento, feita pela junção de dois pedaços dos materiais acima conectados pelas suas extremidades, dilata-se 0,058 cm entre 0°C e
100°C. Calcule o comprimento de cada pedaço de barra composta.

Física

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UNIFESP

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Barbara Zipoli

24.08.2019

💡 12 Respostas

Andre Smaira

02.10.2019

A dilatação térmica é a variação que ocorre em um corpo quando este é submetido a uma variação de temperatura e, mais especificamente, a dilatação dos sólidos é classificada em linear, superficial e volumétrica.

No problema em questão, para determinar a dilatação linear da barra de ouro, emprega-se a equação abaixo:

$\Delta L = L \cdot \alpha \cdot \Delta T$

Em que $\Delta L$ é a dilatação linear; $$L$$ o comprimento inicial; $\alpha$ o coeficiente de dilatação linear; e $\Delta T$ é a variação de temperatura.

Primeiramente calcula-se os coeficientes de dilatação linear da primeira e segunda barra, respectivamente:

$\eqalign{ & {\alpha _1} = \dfrac{{\Delta L}}{{L \cdot \Delta T}} \cr & = \dfrac{{0,065{\text{ cm}}}}{{\left( {30{\text{ cm}}} \right) \cdot \left( {100{\text{ °C}}} \right)}} \cr & = 2,1\overline 6 \cdot {10^{ - 5}}{\text{ °}}{{\text{C}}^{ - 1}} \cr & \cr & {\alpha _2} = \dfrac{{\Delta L}}{{L \cdot \Delta T}} \cr & = \dfrac{{0,035{\text{ cm}}}}{{\left( {30{\text{ cm}}} \right) \cdot \left( {100{\text{ °C}}} \right)}} \cr & = 1,1\overline 6 \cdot {10^{ - 5}}{\text{ °}}{{\text{C}}^{ - 1}} }$

$\eqalign{ & \Delta {L_1} = {L_1} \cdot {\alpha _1} \cdot \Delta T \cr & \Delta {L_2} = {L_2} \cdot {\alpha _2} \cdot \Delta T \cr & \cr & \Delta L = \Delta {L_1} + \Delta {L_2} = 0,058{\text{ cm}} \cr & L = {L_1} + {L_2} = 30{\text{ cm}} \Rightarrow {L_1} = 30 - {L_2} \cr & \cr & 0,058 = {L_1} \cdot {\alpha _1} \cdot \Delta T + {L_2} \cdot {\alpha _2} \cdot \Delta T \cr & = 100 \cdot \left( {{L_1} \cdot {\alpha _1} + {L_2} \cdot {\alpha _2}} \right) \cr & = 100 \cdot \left( {\left( {30 - {L_2}} \right) \cdot {\alpha _1} + {L_2} \cdot {\alpha _2}} \right) \cr & = 100 \cdot \left( {\left( {30 - {L_2}} \right) \cdot {\alpha _1} + {L_2} \cdot {\alpha _2}} \right) \cr & = 100 \cdot \left( {30 \cdot {\alpha _1} - {L_2} \cdot {\alpha _1} + {L_2} \cdot {\alpha _2}} \right) \cr & = 100 \cdot \left( {30 \cdot 2,1\overline 6 \cdot {{10}^{ - 5}} - {L_2} \cdot 2,1\overline 6 \cdot {{10}^{ - 5}} + {L_2} \cdot 1,1\overline 6 \cdot {{10}^{ - 5}}} \right) \cr & = 100 \cdot \left( {6,48 \cdot {{10}^{ - 4}} - {L_2} \cdot 1 \cdot {{10}^{ - 5}}} \right) \cr & = 6,48 \cdot {10^{ - 2}} - {L_2} \cdot 1 \cdot {10^{ - 3}} \cr & \cr & \Rightarrow {L_2} = \dfrac{{0,058 - 6,48 \cdot {{10}^{ - 2}}}}{{ - 1 \cdot {{10}^{ - 3}}}} \cr & {L_2} = 6,8{\text{ cm}} \cr & \cr & \Rightarrow {L_1} = 30 - 6,8 \cr & {L_1} = 23,2{\text{ cm}} }$

Portanto, a barra é composta por um trecho de $\boxed{23,2\text{ cm}}$ do material da primeira barra e por outro trecho de $\boxed{6,8\text{ cm}}$ do material da segunda barra.

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