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Introdução ao cálculo

25- Um pequeno agricultor dispõe de 200 m de tela, com a qual pretende cercar uma horta retangular. Lembre-se de que o perímetro de um retângulo de dimensões x e y é 2x + 2y, e de que a área do mesmo retângulo é xy. 
a) Usando o comprimento da tela, exprima y como uma função de x. 
b) Determine a função A(x) que fornece a área cercada em relação a x. 
c) Determine o valor de x que maximiza a área cercada. 
d) Encontre a área máxima da horta. 
e) Esboce o gráfico de A(x). 

💡 1 Resposta

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Ramiro Michelon

Olá,

temos 200 m  de tela e queremos cercar a horta. Devemos usar então o perímetro, que é a soma dos lados do retângulo (temos então que P=200).

a) \(P=2x+2y \Rightarrow 200=2x+2y \Rightarrow 2y=200-2x \Rightarrow y=100-x \), ou \(y(x)=100-x\).

b) A área de um retângulo é base x altura, no caso, \(A=x\times y\). Mas, no item (a), obtivemos y dependendo de x. Podemos então substituir na função área: \(A=x\times y \Rightarrow A=x\times (100-x) \Rightarrow A(x)=100x-x^2\).

c) Observe que a função A(x) é uma parábola com concavidade voltada para baixo (a constante que multiplica x² é -1). Logo teremos um ponto de máximo da função. Como as raízes de A(x) são 0 e 100, o ponto de máximo se encontra no meio deles (é propriedade simples de visualizar), Logo a máxima área ocorre em x=50.

d) Substituindo na equação da área, teremos: \(A(50)=100\times 50-50^2 \Rightarrow A(50)=5000-2500 \Rightarrow A(50)=2500\, m^2\).

e) O gráfico é como falei no item (c), só desenhar. 

Até,

(não deixe de curtir a resposta)

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