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Sabe-se que o polinômio P(x) = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1 é divisível pelo polinômio Q(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1. Sobre as raízes de P(x), é

Sabe-se que o polinômio P(x) = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1 é divisível pelo polinômio Q(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1. Sobre as raízes de P(x), é verdade que a) duas delas são imaginárias puras e três delas são reais. b) as cinco são reais e de multiplicidade 1. c) três são iguais a -1 e as duas outras são reais e distintas. d) as cinco são reais e iguais. e) 1 é raiz de multiplicidade 2 e -1 é raiz de multiplicidade 3.

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Andre Smaira

Polinômios aparecem em muitas áreas da matemática e da ciência. Por exemplo, eles são usados para formar equações polinomiais , que codificam uma ampla gama de problemas, desde problemas elementares de palavras a problemas científicos complicados; eles são usados para definir funções polinomiais , que aparecem em ambientes que vão da química e física básicas à economia e ciências sociais ; eles são usados no cálculo e na análise numérica para aproximar outras funções.

Para podermos analisar as raízes, vamos primeiro encontrar as raízes de \(P(x)\) e para isso utilizaremos o software, Excel para encontrar sua raízes:


\[\eqalign{ & {x_1} = 6.458334363114135 \times 10 - 4i - 0.99870742498341 \cr & {x_2} = - 6.458334363114135 \times 10 - 4i - 0.99870742498341 \cr & {x_3} = 0.0017994967055716i - 1.000322981864615 \cr & {x_4} = - 0.0017994967055716i - 1.000322981864615 \cr & {x_5} = - 1.001939186303932 }\]

Portanto, a opção correta é a alternativa E.

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