(FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine: a) O produto dos dois números. b)

Sendo \(x\) e \(y\) dois números positivos desconhecidos, tem-se as seguintes equações:

\[\left\{ \begin{matrix} \eqalign{ x^2+y^2&=4 \,\,\,\, (I) \\ {1 \over x^2}+{1 \over y^2}&=1 \,\,\,\, (II)} \end{matrix} \right.\]

Manipulando a equação \((II)\), tem-se o seguinte:

\[\eqalign{ {1 \over x^2}+{1 \over y^2} &=1 \\ {y^2 \over x^2 y^2}+{x^2 \over x^2 y^2} &=1 \\ {x^2+y^2 \over x^2 y^2} &=1 \\ x^2+y^2 &=x^2 y^2 \,\,\,\, (III) }\]

Substituindo a equação \((II)\) na equação \((III)\), o valor de \(xy\) é:

\[\eqalign{ x^2+y^2 &=x^2 y^2 \cr 4 &=x^2 y^2 \cr (xy)^2 &=4 \cr xy &=\pm \sqrt{4} \\ }\]

Como \(x\) e \(y\) são positivos, o produto dos dois números positivos é:

\[\boxed{xy=2}\]

b)

Somando \(2xy\) nos dois lados da equação \((I)\), tem-se o seguinte:

\[\eqalign{ x^2+2xy+y^2&=4+2xy \cr (x+y)^2&=4+2xy \cr x+y&=\pm\sqrt{4+2xy} \,\,\,\, (IV) }\]

Substituindo \(xy=2\) na equação \((IV)\), o valor de \(x+y\) é:

\[\eqalign{ x+y&=+\sqrt{4+2\cdot 2} \\ &=\sqrt{4+4} \\ &=\sqrt{4\cdot 2} \\ &= 2\sqrt{2} }\]

Concluindo, a soma dos dois números positivos é:

\[\boxed{x+y=2\sqrt{2}}\]