20 – Considere um grupo de 3 rapazes e 5 moças. a) De quantos modos podemos organizá-los em fila, com os rapazes nos extremos?

Neste tipo de questão, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC). Segundo este princípio, o número de possibilidades de um conjunto de eventos independentes ocorrer é dado pela multiplicação das possibilidades de cada evento.

Do enunciado, temos que organizar 8 pessoas em uma fila com os rapazes nas extremidades. Assim, supondo que existam 2 rapazes no início e 1 rapaz no final da fila, teremos 3, 2 e 1 possibilidades para as posições 1, 2 e 8 da fila, respectivamente. E, para as moças, teremos 5, 4, 3, 2 e 1 possibilidades para as posições 3, 4, 5, 6 e 7 da fila, respectivamente. Assim, pelo PFC, o número de modos de organização é \(\left( {3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} \right) = 720\).

O caso contrário (1 rapaz no início e 2 rapazes no final) também é válido. Logo, teremos mais 720 modos de ordená-los, totalizando \(\left( {2 \cdot 720} \right) = 1.440{\text{ modos}}\).

Portanto, temos \(\boxed{1.440{\text{ modos}}}\).

b)

Agora, vamos supor que os 3 rapazes estão no início e as 5 moças no final da fila. Neste caso, teremos 3, 2 e 1 possibilidades para as três posições iniciais e 5, 4, 3, 2 e 1 possibilidades para as cinco últimas posições da fila. Analogamente ao item anterior, pelo PFC, temos que o número de modos é \(\left( {3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \right) = 720\).

Como também existe a possibilidade de os rapazes estarem no final e as moças no início da fila, teremos mais 720 modos. Logo, no total, teremos \(\left( {2 \cdot 720} \right) = 1.440{\text{ modos}}\).

Portanto, temos \(\boxed{1.440{\text{ modos}}}\).