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Verifique se a EDO é exata e encontre a solução geral. a) (y³ – x)y’ = y


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Andre Verified user icon

Há mais de um mês

Para saber se a EDO é exata, vamos separá-la:

\((y^3-x)dy=ydx\\ n=y^3-x\\ m=y\\ dM \ Dy=1\\ Dn \ dX=-1\)

Então:

\(dM\ dy_dN\ dx=0\)

Então é exata

Para saber se a EDO é exata, vamos separá-la:

\((y^3-x)dy=ydx\\ n=y^3-x\\ m=y\\ dM \ Dy=1\\ Dn \ dX=-1\)

Então:

\(dM\ dy_dN\ dx=0\)

Então é exata

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Ramiro

Há mais de um mês

Olá,

uma EDO é exata se pode ser escrita na forma \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\). Reajeitando a EDO dada, obtemos:

\((y^3-x)\frac{dy}{dx}=y \Rightarrow (y^3-x)\frac{dy}{dx}dx=ydx \Rightarrow (y^3-x)dy=ydx \Rightarrow ydx+(-y^3+x)dy=0\). Logo é uma EDO exata. Para resolvê-la, vamos ver se a condição \(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\) é satisfeita: \(M_y=(y)_y=1\) e \(N_x=(-y^3+x)_x=1\). Então \(M_y=N_x\).

Agora podemos calcular \(F(x,y)=\int(-y^3+x)dy \Rightarrow F(x,y)=\frac{-y^4}{4}+xy+\psi(y)\), onde \(\psi\) é uma função dependendo de y. Como tomamos \(M_y\) para encontrar F, derivando-a em relação à y obtemos:

\(F_y=(\frac{-y^4}{4}+xy+\psi(y))_y \Rightarrow F_y=[-y^3+x+\psi'(y)] dy\). Note que \(F_y=Ndy\).

Então \(-y^3+x+\psi'(y)=-y^3+x \Rightarrow \psi'(y)=0 \Rightarrow \psi(y)=c\).

Temos então como solução final \(F(x,y)=-\frac{y^4}{4}+xy+c\). Tomando F=0, obtemos \(-\frac{y^4}{4}+xy=c\) (c é constante).

Espero ter ajudado e não ter errado nada. Até.

(não deixe de curtir a resposta)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas