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(UERJ 2013) O gráfico abaixo representa a função polinomial P do 3º grau que intersecta o eixo das abscissas no ponto (-1, 0).

Determine o resto da divisão de P(x) por \(x^2-1\).
 

Matemática

UNINTER


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Profª. Thayná Leal Verified user icon

Há mais de um mês

Sabemos que 

dividendo = quociente x divisor + resto

P(x) = Q(x)(x²-1) + ax+b

Substituindo os pontos (-1,0) e (1,2) temos

Q(-1)(1-1) -a + b = 0

- a + b = 0 (i)

 

Q(1)(1-1) + a + b = 2

a + b = 2 (ii)

 

Resolvendo o sistema em i  e ii , temos

-a + b = 0

a + b = 2

2b = 2 

b = 1 

Logo, a = 1 

 

Como o resto da divisão é ax + b , temos que o resto será (1)x + 1  = x +1 

 

Sabemos que 

dividendo = quociente x divisor + resto

P(x) = Q(x)(x²-1) + ax+b

Substituindo os pontos (-1,0) e (1,2) temos

Q(-1)(1-1) -a + b = 0

- a + b = 0 (i)

 

Q(1)(1-1) + a + b = 2

a + b = 2 (ii)

 

Resolvendo o sistema em i  e ii , temos

-a + b = 0

a + b = 2

2b = 2 

b = 1 

Logo, a = 1 

 

Como o resto da divisão é ax + b , temos que o resto será (1)x + 1  = x +1 

 

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Keila Montenegro

Há mais de um mês

P(x) = Q(x).D(x) + R(x)

Nesse caso teremos: P(x) = (x² – 1)Q(x) + R(x)

Como o polinômio divisor tem grau 2, então o resto tem grau no máximo 1.

R(x) = ax + b

Veja que os pontos (-1, 0) e (1, 2) pertencem ao gráficos de P(x), logo:

P(-1) = ((-1)² – 1)Q(-1) + R(-1)

R(-1) = 0

Além disso, P(1) = (1² – 1)Q(1) + R(1)

R(1) = 2

Montando um sistema teremos:

-a + b = 0

a + b = 2

a = 1 e b = 1

Portanto o resto da divisão de P(x) por x² – 1 será x + 1.

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas