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(UERJ 2014)

No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q. Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir.
 

MatemáticaUNINTER

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Profª. Thayná Leal Verified user icon

Há mais de um mês

Vamos encontrar as equações das retas AC e AB do tipo y = ax +b

AC :

(1,0)(0,1)

1 = a*0 +b

b = 1 

0 = a + 1 

a = -1

equação: -x + 1 

 

AB: (1,0)(2,1)

0 = a +b

1 = 2a + b

 

0 = -a - b

1 = 2a + b

1 = a 

 

0 = 1 + b

b = - 1

equação: x - 1 

 

Coordenadas de P = (x' , -x' +1)

Coordenadas de Q = (x'+1,x')

Usando distância entre dois pontos, temos:

AP = √[(x'-1)²+(x'+1-0)²] = (1-x')√ 2 

AQ = √ [(x'+1-1)²+(x'-0)²] = x' √ 2 

Portanto , a área será:

[(1-x')√ 2 *x' √ 2 ]/2 = -x' ² + x'

Como queremos a área máxima, usaremos Yv da parábola:

xV = -b/2a = -1/-2 = 1/2

Yv = - (1/2)² + 1/2 = -1/4 + 1/2 = 1/4 

 

Resposta: 1/4 

 

 

Vamos encontrar as equações das retas AC e AB do tipo y = ax +b

AC :

(1,0)(0,1)

1 = a*0 +b

b = 1 

0 = a + 1 

a = -1

equação: -x + 1 

 

AB: (1,0)(2,1)

0 = a +b

1 = 2a + b

 

0 = -a - b

1 = 2a + b

1 = a 

 

0 = 1 + b

b = - 1

equação: x - 1 

 

Coordenadas de P = (x' , -x' +1)

Coordenadas de Q = (x'+1,x')

Usando distância entre dois pontos, temos:

AP = √[(x'-1)²+(x'+1-0)²] = (1-x')√ 2 

AQ = √ [(x'+1-1)²+(x'-0)²] = x' √ 2 

Portanto , a área será:

[(1-x')√ 2 *x' √ 2 ]/2 = -x' ² + x'

Como queremos a área máxima, usaremos Yv da parábola:

xV = -b/2a = -1/-2 = 1/2

Yv = - (1/2)² + 1/2 = -1/4 + 1/2 = 1/4 

 

Resposta: 1/4 

 

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas