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(UERJ 2015)Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstáculo com a forma de um prisma triangular regular.

As vistas das bases do cilindro e do prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I, II e III, nas figuras a seguir.

Admita que:
•as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são respectivamente iguais a 2√3 decímetros;
• durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.
Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro.
 

MatemáticaUNINTER

2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Profª. Thayná Leal Verified user icon

Há mais de um mês

Vamos encontrar Lado do triângulo: 

altura = L√3 / 2  = 2√3 

L = 4 dm.

Descobrir a medida "x" usando seno.

sen 30 = x/2 

1/2 = x/2 

x = 1

Comprimento do arco de 120º:

diâmetro = 2√3  

Logo, r = 2√3 / 2 = √3 

Comprimento da circunferência = 2*pi*r = 2√3  π

Note que 120º = 1/3 de 360º 

Daí, comprimento = 1/3 * 2√3  π = 2√3/3  π

 

Resposta: 3 + 3 + (2√3/3)π dm  = 6 +  (2√3/3)π dm 

 

 

 

Vamos encontrar Lado do triângulo: 

altura = L√3 / 2  = 2√3 

L = 4 dm.

Descobrir a medida "x" usando seno.

sen 30 = x/2 

1/2 = x/2 

x = 1

Comprimento do arco de 120º:

diâmetro = 2√3  

Logo, r = 2√3 / 2 = √3 

Comprimento da circunferência = 2*pi*r = 2√3  π

Note que 120º = 1/3 de 360º 

Daí, comprimento = 1/3 * 2√3  π = 2√3/3  π

 

Resposta: 3 + 3 + (2√3/3)π dm  = 6 +  (2√3/3)π dm 

 

 

 

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Rubeka

Há mais de um mês

O caminho percorrido pelo centro F equivale a um conjunto de pontos nos quais a distância aos lados AB e BC e ao vértice C, do triângulo ABC, é constante e igual ao raio r da base do cilindro.

Sabendo-se a altura, é possível calcular o lado l do triângulo equilátero ABC:
altura = 
l = 4 dm


Da mesma forma, podemos calcular o raio r da base do cilindro:
diâmetro = 2r = 
r =  dm


No que se refere ao triângulo retângulo AF₁T₁, temos:
AT₁ = r . tg30° =  .  = 1 dm
F₁F₂ = CT₁ = 4 - 1 = 3 dm

Assim, 
F₃F₄ = 3 dm


Vamos agora considerar o arco de circunferência:
F₂F₃∩

Seu ângulo central equivale a:
F₂∧CF₃ = α
α + 90° + 90° + 60° = 360°
α = 120°

A medida desse arco, portanto, é igual a 1/3 da circunferência
arco = 


Logo, o comprimento de F1F2F3F4 corresponde a:
6 + 

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas