As vistas das bases do cilindro e do prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I, II e III, nas figuras a seguir.
Admita que:
•as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são respectivamente iguais a 2√3 decímetros;
• durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.
Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro.
O caminho percorrido pelo centro F equivale a um conjunto de pontos nos quais a distância aos lados AB e BC e ao vértice C, do triângulo ABC, é constante e igual ao raio r da base do cilindro.
Sabendo-se a altura, é possível calcular o lado l do triângulo equilátero ABC:
altura =
l = 4 dm
Da mesma forma, podemos calcular o raio r da base do cilindro:
diâmetro = 2r =
r = dm
No que se refere ao triângulo retângulo AF₁T₁, temos:
AT₁ = r . tg30° = . = 1 dm
F₁F₂ = CT₁ = 4 - 1 = 3 dm
Assim,
F₃F₄ = 3 dm
Vamos agora considerar o arco de circunferência:
F₂F₃∩
Seu ângulo central equivale a:
F₂∧CF₃ = α
α + 90° + 90° + 60° = 360°
α = 120°
A medida desse arco, portanto, é igual a 1/3 da circunferência
arco =
Logo, o comprimento de F1F2F3F4 corresponde a:
6 +
Vamos encontrar Lado do triângulo:
altura = L√3 / 2 = 2√3
L = 4 dm.
Descobrir a medida "x" usando seno.
sen 30 = x/2
1/2 = x/2
x = 1
Comprimento do arco de 120º:
diâmetro = 2√3
Logo, r = 2√3 / 2 = √3
Comprimento da circunferência = 2*pi*r = 2√3 π
Note que 120º = 1/3 de 360º
Daí, comprimento = 1/3 * 2√3 π = 2√3/3 π
Resposta: 3 + 3 + (2√3/3)π dm = 6 + (2√3/3)π dm
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